不等式の証明について

質問

0<x<π/2　のとき次の不等式を証明せよ。
log(cosx)+x2/2 <0

この問題分かる人いませんか？
いらっしゃったらおしえてくれませんか？
よろしくお願いします。

ちなみにx2とはｘの二乗のことです。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

f(x)=log(cosx)+x^2/2
とおくと
f'(x)=x-tan(x)
f"(x)=1-1/(cos(x))^2
　=1-{1+(tan(x))^2}
=-(tan(x))^2
0< x <π/2で
　tan(x)>0なので
　f"(x)<0
　f'(x)は単調減少関数
f'(x)<f'(0)=0-tan(0)=0 (0< x <π/2)
であるから
f(x)は単調減少関数
f(0)=log(cos(0))+0=0なので
0<x<π/2のとき
f(x)=log(cosx)+x^2/2<f(0)=0

回答No.2

alice_44

cos をマクローリン展開すると、
cos x = 1 - (1/2)x^2 + (1/24)x^4 - …　です。
x > 0 のとき、右辺は交代減少級数であり、
交代減少級数の打切誤差は、打切初項で押さえられるので、
cos x > 1 - (1/2)x^2 です。
上記の議論がピンと来なければ、
g(x) = (cos x) - { 1 - (1/2)x^2 } の増減表を
書いて検討してもよい。同じ結果が得られます。

また、log を 1 中心にテイラー展開すると、
log(1-h) = -h - (1/2)h^2 - (1/3)h^3 - … で、
h > 0 のとき、右辺は各項が負ですから、
log(1-h) < -h です。

cos x = 1 - h と置いて、上記を合わせると、
log(cos x) < -(1/2)x^2 が得られます。
移項して、log(cos x) + x^2/2 < 0 です。