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穴の開いた空のタンクへ水を入れた時の水位高さ
yokkun831の回答
- yokkun831
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排水抵抗はないものとします。 給水量：Q = 1L/min = 10^-3/60 m^3/s 排水口半径：r = 3mm = 3×10^-3 m 排水口面積：A = πr^2 タンク底面積：S = 120cm^2 = 120×10^-4 m^2 時間 t の後の水位を y(t)，体積を V(t) = Sy(t) とすると dV/dt = Q - A√(2gy) 水位が一定の定常状態では，dV/dt = S dy/dt = 0 ですから 定常水位を y_t とおくと， 0 = Q - A√(2gy_t) ∴y_t = Q^2/(2gA^2) = 0.0177 [m] = 1.77 [cm] V = Sy を考慮すると上の微分方程式は S/{ A√(2g) } dy/dt = √y_t - √y となります。 y が連続的に y_t に近づくと，水位変化率 dy/dt は連続的に 0 に近づきます。 したがって，水位がy_t になるためには，理論上無限大の時間が必要だと思います。 実際，上の微分方程式を解こうとすると，原始関数t(y)は求まるものの y=0からy=y_tまでの定積分は無限大に発散します。 下記が参考になるかもしれません。 http://csspcat8.ses.usp.ac.jp/ses/kyouin/shakei/gallery/mode0005.pdf
noname#175206
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補足
yokkun831様 御教授有難うございます。 すみません、当方全くど素人で簡単な微積分すらままなりません。できましたら、具体的数値を書いて教えていただければありがたいのですが（やってみましたが、やはりできませんでした）。 教えていただいたにも関わらず不躾なお願いですみません。