微分・積分

質問

座標平面のX＞０の部分に半径2分の1の円Cがあり、X軸と放物線y=X²に接している。

　(1)　円Cの中心の座標を求めよ

　(2)　x軸、放物線ｙ=X²、および円Cによって囲まれた部分（ただし、円の内部は含まない）の面積を求めよ。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（千葉大学）

　よろしくお願いします。

回答No.1

info22_

(1)
円Cが放物線とX軸とに外接するから円Cの方程式は、
　(x-a)^2+(x-1/2)^2=(1/2)^2　(a>0) ...(A)
とおける。
円Cと放物線
　y=x^2
が点(b,b^2)で外接するとすると
接線は
　y=2b(x-b)+b^2 → y=2bx-b^2 ...(B)
円Cと放物線が外接する条件から
　2b*(b^2-(1/2))/(b-a)=-1 ...(C)
点(b,b^2)が円C上の点であることから
　(b-a)^2+(b^2-(1/2))^2=1/4 ...(D)
(C),(D)を連立させてa(>0),b(>0)について解くと
　a=3√3/4,b=√3/2
従って,円Cの中心の座標は(a,1/2)=(3√3/4,1/2)

(2)
面積を求める領域の図を描くようにして下さい。

(1)より円Cの方程式は
　(x-(3√3/4))^2+(y-(1/2))^2=1/4 ...(E)
円CとX軸と放物線y=x^2で囲まれた部分の面積Sは
　S=∫[0→3/4]{3√3/4-√((1/4)-(y-(1/2))^2)-√y}dy
(途中計算省略…やってみて下さい)
　 =[(y/12)(9√3-8√y)+(1/4)(1-2y)√(y-y^2)
　　-(1/8)arcsin(2y-1)][0→3/4]
=(9/32)√3 -(π/12)