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立体の重心を積分で求める方法について
- この記事では、立体の重心を積分を用いて求める方法について説明します。
- 具体的な計算式や公式を示しながら、重心の求め方を解説します。
- また、実際の計算結果と比較してどこが間違っているのかを明確に示し、正しい解法を提案します。
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この問題なんでしょう? 自分ではもれなく解いてるつもりなんですが・・・ ====問題 y=4-x^2とy=-3xで囲まれた部分をx軸のまわりに回転させて 得られる体積は? ===== という体積の問題です。グラフをまず書いたのですが(交点は-1と4)これを いっぺんに求めるのは無理なので基本的に3つにわけました。 y軸の左側にある部分をV1として解いたんです。答えは158π/15でした。 次にy=4-x^2とy軸とx軸に囲まれた部分をV2として解きました。これは256π/15でした。 問題は次で、y=4-x^2をx軸で折り返してy=x^2-4を書きます。 それでこのy=4-x^2とy=x^2-4とy=-3xに囲まれた部分をV3としました。 ここを求めるためにまず V'=π∫[0,4] (-3x)^2 dx=192πを求めました。 この体積から余計な部分を引いていくことにしました。 y=x^2-4とy=-3xとx軸の部分はV2のときに求めた部分に入るので 192πからひくことにしました。 V''=π∫[0,1] (-3x)^2 dx+π∫[1,2] (x^2-4)^2 dx=98π/15 さらにx=4とy=4-x^2とx軸で囲まれた部分も余計なので V'''=π∫[2,4] (x^2-4)^2 dx=1984π/15 なので V3=V'-(V''+V''')であるのでV3=798π/15 したがって V1+V2+V3=1212π/15になりました。 しかし、答えは132πなんです。 どこがおかしいんでしょうか。
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V = {(x,y,z) | x^2 + y^2 + z^2 <= a^2, x^2 + y^2 <= b^2} (a>b>0)の体積|V| 次の立体V = {(x,y,z) | x^2 + y^2 + z^2 <= a^2, x^2 + y^2 <= b^2} (a>b>0)の体積|V|を求めよ、 という問題で答えは |V| = 2*∫∫_[x^2 + y^2 <= b^2] √(a^2 - x^2 - y^2) dx dy = (4π/3)(a^3 - √{(a^2 - b^2)^3}). となっています。 この問題の途中で、これ以上積分が出来そうにない部分が出てきますので、どうか助けてください。自分のやったところまで書きますと |V| = 2*2*∫[0,b] dx 2*∫[0,√(b^2 - x^2)] √(a^2 - x^2 - y^2) dy = 8*∫[0,b] [(1/2){y√(a^2 - x^2 - y^2) + (a^2 - x^2) arcsin(y√(a^2 - x^2))}]_[0,√(b^2 - x^2)] = 4*∫[0,b] √(b^2 - x^2)√(a^2 - b^2) + (a^2 - x^2) arcsin{√(b^2 - x^2)/√(a^2 - x^2)} dx …ここが、「これ以上積分が出来そうにない部分」です(実際、計算機でもこれ以上は計算してくれません)。 ただ、本に載っている例の値 a=1, b=1/2 を入力すると 1.46809 という答えになり、本の答え (4π/3)(a^3 - √{(a^2 - b^2)^3}) に a=1, b=1/2 を入力した場合とまったく同じ答えになります。 さて、手計算で (4π/3)(a^3 - √{(a^2 - b^2)^3}) を求めるにはどうすればよいのでしょうか?
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