• ベストアンサー

積分

dv/dx = -v(2πaRG)^1/2 π,a,G,Rを定数として これを解くと x=0, v=v_0より v = v_0 exp(-(2πaRG)^1/2 ・x) となると書いてありました。 なぜ積分してexpの形に答えがなるのかちんぷんかんぷんです。 ご教授お願い申し上げます。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • info22_
  • ベストアンサー率67% (2650/3922)
回答No.2

>dv/dx = -v(2πaRG)^(1/2) 両辺に vdxをかけると変数分離ができる dv/v = {-(2πaRG)^(1/2)}dx 両辺を積分して ln|v|={-(2πaRG)^(1/2)}x +c1 ...(◆) |v|=c2*exp{-x(2πaRG)^(1/2)} ...(●) ここで c2=exp(c1)とおく。  v=±c2*exp{-x(2πaRG)^(1/2)} x=0でv=v_0なので  v=±c2=v_0 ∴v=v_0*exp{-x(2πaRG)^(1/2)} >なぜ積分してexpの形に答えがなるのかちんぷんかんぷんです。 上の(◆)から(●)に移る過程で 自然対数ln(A)=Bの定義から真数はA=exp(B)の関係で表わせます。 この関係を使ってlog|v|からからvをexp(・)の形の 関数で表されるのです。

ligase
質問者

お礼

解答だけでなくこちらの質問にもどうしてそうなるのかの一連の解説までしてくださり本当にありがとうございます。今教えていただいたことをノートに書いています。 今後ともご教授の程、よろしくお願い申し上げます。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

その他の回答 (1)

  • spring135
  • ベストアンサー率44% (1487/3332)
回答No.1

dv/dx = -v(2πaRG)^1/2 dv/v=-(2πaRG)^1/2・dx logv=c-(2πaRG)^1/2・x v=c'e^(-(2πaRG)^1/2・x) x=0, v=v_0よりC'=v_0 よって v = v_0 exp(-(2πaRG)^1/2 ・x)

ligase
質問者

お礼

一つ一つの式の過程までご親切に解説下さり誠にありがとうございます。

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

関連するQ&A

  • この積分が解けません

    先日、この積分(↓)を質問したものです。 ∫{0→+∞}{exp(-x^2)/x}dx 今回は少しだけ形が違います。x^2の前にα(αは定数)がついたら答えはどうなるのでしょうか? ∫{0→+∞}{exp(-αx^2)/x}dx 初歩的なことかもしれませんが、どなたか教えてください。よろしくお願いします。

  • ガウス積分

    ∫[-∞→∞](x^2)*exp(-(x^2)/α^2)dxの答えが、(α^3*√π)/2 となるのですが、1/2が出てきません。 部分積分をしてガウスの法則を用いて、以下のように解きました。 ∫[-∞→∞](x^2)*exp(-(x^2)/α^2)dx =[-α^2/2*exp(-(x^2)/α^2)*x]+∫α^2*exp(-(x^2)/α^2)dx ここで、第一項はゼロになり、第二項にガウスの積分を使いました。 =α^2*√(α^2*π) =α^3*√π どこが間違っているかわかる方いたら教えてください。

  • 定積分の問題について

    定積分の問題について質問させていただきます 。 以下の定積分を解け。 I(R) = ∫x^3*exp(-x^2)dx [x=0 → R] R:定数 exp(-x^2)を積分して、部分積分によって解いたところ I(R) = -(R^2/2 + 3/4)*exp(-R^2) + 3/4 となったのですが、あっていますでしょうか? 回答よろしくお願い致します。

  • 積分について

    積分がにがてで,どうしてもわからないので教えてください. ∫(-∞→∞)exp[(2ρuv-v^2)/2]dv を積分するのですが,私の答えは,exp[(ρ^2・u^2)/2]になるのですが,答えが合いません.教えてください

  • 複素積分

     次の実積分を複素積分したいのですが、やり方が分かりません。 どなたか、解答もしくは方針を教えてください。 1)∫[-∞~∞] exp{-(x-a)^2/b} dx ただし、bは複素数でRe(b) >0 、 aは定数 2)∫[-∞~∞] sinωx exp{-(x-a)^2/a} ω,aは定数

  • 積分の解き方

    ∫(x-1) * exp((1/2)*x^2 - x) dxの解き方を教えてください。 答えはexp((1/2)*x^2 - x)になるらしいんですが 自分で部分積分を使って解くと (x-1) * (1/(x-1)) * exp ((1/2)*x^2 - x) - ∫(1/(x-1)) * exp((1/2)*x^2 - x) dx =exp ((1/2)*x^2 - x) - ∫(1/(x-1)) * exp((1/2)*x^2 - x) dx となって -∫(1/(x-1)) * exp((1/2)*x^2 - x) dxが消えてくれません。 他の解き方じゃないとダメなんでしょうか? それとも、そもそも部分積分の使い方が間違ってるんでしょうか? アドバイスよろしくお願いします。

  • 積分

    ∫(1+ax/2)^2 *exp(-a^2*x^2)dx (x=-∞~∞)の定積分の解き方がいまいちわかりません。どなたか教えてください。aは定数です。

  • 積分

    以下に示す式の積分について解き方を教えて下さい。 v=4*A*π*∫e^-(B*v^2)*v^3*dv ここで、積分範囲は0から∞とする。 v^2=4*A*π*∫e^-(B*v^2)*v^4*dv ここで、積分範囲は0から∞とする。 なお,記号の読みはπ(パイ),v(ブイ)である。A,Bは定数である。

  • このような立体の重心を、積分で求めたいです。

    下図のような回転体の重心を求めたいです。 体積Vは求めることができました。 V =∫<0→h>π{a+√(r^2-x^2)}^2・dx =π{ h(a^2+r^2-h^2/3)+a(h√(r^2-h^2) + r^2・arcsin(h/r) } 3DCADで色々な寸法でモデリングしてみたら、上の答えは合っているようです。 重心を自分で計算してみたら、以下のようになりました。 G =1/V∫<0→h>xdV =1/V∫<0→h>xπ{a+√(r^2-x^2)}^2・dx =π/V∫<0→h>{a^2x + r^2x - x^3 + 2ax√(r^2-x^2)}dx =π/V[a^2・x^2/2 + r^2・x^2/2 - x^4/4 + 2a{-(r^2-x^2)^(3/2)}/3]<0→h> =π/V{a^2・h^2/2 + r^2・h^2/2 - h^4/4 - 2a/3(r^2-h^2)^(3/2)} この答えは合っていませんでした。 どこが間違っているのでしょうか? 読みにくくて申し訳ないのですが、どなたか解いて下さいませんか?

  • e^-1/Tの積分

    現在、次のような微分方程式を解かなければならず、 悪戦苦闘しています。 dx/dT=k/a*exp(-E/RT)*(1-x) この式のうち、k,a,E,Rは定数で既知なので、無視すると、 dx/dT = exp(-1/T)*(1-x) という微分方程式になります。 私はこの式をxとTの変数分離型の微分方程式と捉えて次のように変形しました。 dx/(1-x) = exp(-1/T)dT これの両辺を積分するのですが、左辺は ln{1/(1-x)} という答えになるのがわかるのですが、右辺の ∫exp(-1/T)dT という積分が解けません。 どなたか教えていただけませんでしょうか。 よろしくお願いいたします。