命題の問題（数I）

質問

こんにちは。数Iの以下のような問題を解こうとしているのですが、どのように解いたらよいか教えて頂けないでしょうか。解答はもっておりません。どうぞよろしくお願い致します。

以下文章の括弧内は「必要条件」、「十分条件」、「必要十分条件」、「必要条件でも十分条件でもない」の何れになるかという問題です。

【問題】
実数aに対し、a<=0であることは、√a^2=-aであることの（　）である。（2乗は√の中に入っています。）

回答No.2

genshisyounen

十分条件、必要条件はわかりにくい概念ですね。
自信はありませんが、No.1さんの回答とは違う意見なので、アップさせていただきました。
ｐならばｑであるときに、ｐを十分条件、ｑを必要条件と言います。
例えば、「それが犬であれば、それは動物である」という命題で、犬であることが十分条件、動物であることが必要条件です。
犬であるという条件を充たせば動物であるのに十分であり、動物であることは犬であるために必要な条件である、と言い換えることが出来ます。
包含関係で言うと、十分条件は必要条件に含まれます。
この問題の難しいところは、ｐならばｑであるという場合のｑに複数解が存在することです。

具体的に数値を当てはめて、考えて見ましょう。
・十分条件
「実数aに対し、a<=0を充たせば、√a^2=-aであるのに十分だ」
a=-5とすると、
√a^2=√（-5）^2=±5であり、
√a^2=√（-5）^2=+5だとすると、-a=5なので、√a^2=-aが成り立つ。
√a^2=√（-5）^2=-5だとすると、-a=5なので、√a^2=-aは成り立たない。
上の命題は正しい場合（√a^2=√（-5）^2=+5の場合）が存在するので、十分条件です。
・必要条件
「実数aに対し、a<=0であるためには、√a^2=-aであることが必要」
a=-5とすると、
√a^2=√（-5）^2=±5であり、
√（-5）^2=+5では√a^2=-aになりますが、
√（-5）^2=-5では√a^2=-aではありません。
つまり、√a^2=-aが成立しなくてもa<=0となる場合があります。
（「犬であれば動物である」の命題に例えるならば、動物ではない犬が存在するようなもの。）
よって、√a^2=-aであることは、a<=0であるための必要条件ではありません。

よって、「十分条件だが、必要条件でない」ではないでしょうか。

お礼

ご回答いただきありがとうございます。参考にさせていただきます。

回答No.1

asuncion

a≦0ならば、a^2≧0であるから、
a^2の負でない平方根√(a^2) = -a
よって、a≦0 ⇒ √(a^2) = -a …… (1)

一方、任意の実数aについてa^2≧0であるから、
その負でない平方根√(a^2) = -aであるならばa≦0
よって、√(a^2) = -a ⇒ a≦0 …… (2)

(1)(2)よりa≦0 ←→ √(a^2) = -aであるから、
実数aがa≦0であることは、√(a^2) = -a であることの必要十分条件である。

お礼

ご回答いただきありがとうございます。参考にさせていただきます。