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次の問題を解答用紙の書き方で解いて下さい。

<問題1>
-1≦x≦1、かつ-1≦y≦1の範囲で、2XX(Xの二乗のこと)+5YY(Yの二乗)-2XY-6Y-1の最大値、最小値を求めよ。

<問題2>
Xに関する方程式
(xx(Xの2乗)-2x+a)2(←2乗)+(xx-2x+a)+b=0
の異なる実数解はちょうど三個あり、すべて0≦x≦2の範囲にある。
このような実数a,bの条件を求めよ。
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レベル10

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こんにちわ。hikaru_macです。
まず聞きたいのですが、あなたは、一応、自分で答えが出たけども、書き方が分からないのか、
答えが出ていないのか。

前者ならば、問題集とか、教科書の似た問題を探して、解答をじっくり眺めて精進すべし。

答えが出ていない、ならば、解答用紙の書き方うんぬんよりも、とりあえず、答えを正しい道筋で出す、理解することが先決です。

あなたは、どちらなのでしょうか?

とりあえず、この問題について、略解を思い付いたので記しておきます。

<問題1>
問題の式の値をkとおいて、(2XX+5YY-2XY-6Y-1=k)これを変型すると、だ円の式になる。(変型しなくてもだ円の式だけど、変型すると分かりやすい。)中心座標と、半径(長軸の長さと短軸の長さ)を求めて、とりあえず、図を描いてみる。-1≦x≦1、かつ-1≦y≦1のはんいで、このだ円がが存在できるようなkの範囲を求めて、その最大値と最小値が答えとなる。
最後の部分は自分でちょっと唸って考えて下さい。けっこう、難しい考え方です。
あと、別解としては、だ円の式をx→u,y→vに変換してu,v座標系で元の式が円の方程式になるようにすれば、解きやすくなるかも知れないが、これが分かる程ならだ円のままでも答えが出るかも知れない。

さらに別解:
問題の式をxで微分して、最大値、および、その最大値を取る時のxの値をyであらわして、最大値を今度はyで微分しても答えがでる(ような気がする)。x,yの変域に注意。


<問題2>
Y=xx-2x+aとおき、元の式を書き換えると
Y^2+Y+b=0
これの解をα、βとすると、
元の四次方程式の解は
xx-2x+a=α、xx-2x+a=β
の解、よっつ。
四つのはずなのに「異なる実数解はちょうど三個」ってことは、なにかがだぶってるってこと。
ところで、実数係数の方程式の解は、共役複素数やらなんやらのへんのことでしってるとおもうけど、虚数の解は二つづつあるはず、ってことで、今回は虚数解はなし。(解はおおくて全部で四つだが、そのうち三つは実数解であることが分かっているので)
けっきょく、αもβも実数である。(そうでないと、「異なる実数解はちょうど三個」にならない)
また、αとβが同じ値なら異なる解は二つ以下になってしまうので
αとβは異なる値。
ということで、結局、
xx-2x+a=α(式1)、xx-2x+a=β(式2)の解は「異なる実数解はちょうど三個」にな
る。んで、α≠β

この状態をおちついてかんがえると
イ)式1は異なる解を二つ持ち、式2は重解を持ち、これらは一致しない。
ロ)式1と式2は両方、異なる解を二つづつ持つ(判別式>0)が、同じ解が一つある。

このようにして、条件を設定すると、とけるんじゃぁないでしょうか?

※「~の二乗」は「~^2」と書きます。
例)x^2
[^]はキーボードの数字の行の0から三つ右にあります。

※ 解答の書き方は、論理の順番で書いていけば、いいと思います。
自分で書いてみて、それを採点してもらうと良いと思います。
見本がみたいなら、他の問題(類題や例題)の解答をじっくり読むなどしましょう。
それでもだめだ~ってときは、また、この掲示板に相談お書き込みをしたらいかがでしょうか。
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その他の回答 (全1件)

  • 回答No.2

(1)最小値 ー3 最大値 14 (2)0<b<1/4 かつ a=1/2-sqrt{1/4-b}
(1)最小値 ー3 最大値 14
(2)0<b<1/4 かつ a=1/2-sqrt{1/4-b}


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