最大公約数と最小公倍数の問題
- 自分の解き方の何が悪いかわからない… こういう問題がありました「2つの自然数a,b(a<b)について、aとbの最大公約数は6 最小公倍数は216である。このような(a,b)の組は何組あるか」
- 自分は二つの整数とその二つの整数の最小公倍数、最大公約数の定理より a×b=6×216 がなりたつ ここで右辺を素数の積の形に直すと a×b=2^4×3^4 よって左辺では2を4個、3を4個供給しなければいけないので 考えられる組み合わせは [省略] の25個 ここからa<bの条件に合わないものを除き 答えは11組 と考えたのですが、正解は2組でした ぜんぜん違いました… どこが間違っているのでしょうか おしえてください
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自分の解き方の何が悪いかわからない…
こういう問題がありました 「2つの自然数a,b(a<b)について、aとbの最大公約数は6 最小公倍数は216である。このような(a,b)の組は何組あるか」 自分は 二つの整数とその二つの整数の最小公倍数、最大公約数の定理より a×b=6×216 がなりたつ ここで右辺を素数の積の形に直すと a×b=2^4×3^4 よって左辺では2を4個、3を4個供給しなければいけないので 考えられる組み合わせは a b 2^0×3^0 2^4×3^4 : : : : : : 2^4×3^4 2^0×3^0 の25個 ここからa<bの条件に合わないものを除き 答えは11組 と考えたのですが、正解は2組でした ぜんぜん違いました… どこが間違っているのでしょうか おしえてください
- polkoc
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No.9 です。 polkocの間違っている点は、 1) a, b が最大公約数 6 を必ず含まなければならないことを忘れていること。 2) a, b が最大公約数 6以外の共通の因数を持ってはいけないことを忘れていること。 ということですね。
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- 中村 拓男(@tknakamuri)
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定義から a=6x, b=6y で 6xy=216 → xy=36 つまり xy=36 で, x < y で互いに素な x, y を見つければよい。 1, 36 ⇒OK 2,18 ⇒NG 3, 12 ⇒NG 4, 9 ⇒OK 6, 6 ⇒NG 2個です。
- KEIS050162
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#6です。 失礼しました。その通りですね。 2x3 2x2x2x3x3x3 と 2x3x3x3 2x2x2x3 でも共通因数は、2x3だけになりました。訂正ありがとうございました。
#6様 > a=6,B=216 か、a=216,b=6 しかないのでは。 a=24、b=54は条件を満たしますよ。 別に6と216でなくても、一方の数が2×3×2^m、もう一方の数が2×3×3^nで表せる数ならば、 最大公約数が6という縛りを満たせますので。
- KEIS050162
- ベストアンサー率47% (890/1879)
素因数分解すると、2と3の因数しか出てこないのですから、最大公約数が6という条件に合う組み合わせは、 aもしくはbどちらかが、因数2と3をそれぞれ一個ずつしか持っていない、 という組合せに絞られてしまうと思います。 なので、 a=6,B=216 か、a=216,b=6 しかないのでは。 それ以外だと、共通因数が、 2,2,3 とか 2,3,3になってしまい、最大公約数が6の条件から外れます。 ご参考に。
- ta20000005
- ベストアンサー率46% (30/64)
最大公約数が6ということはaもbも6の倍数で a=6α b=6β α<βでαとβは互いに素 とすれば 6α×6β=6×216 になり、αとβの条件から解けますよね。
すみません。#3の1行目に間違いが。 > b=36(2^2×3^3) b=108(2^2×3^3)の間違いです。
この解き方の場合、例えばa=12(2^2×3^1)、b=36(2^2×3^3)というのも 解になりますよね。でも、この2つの数の最大公約数は6でしょうか? aとbの最大公約数は6ということは、それぞれを6で割った、a/6とb/6は 互いに素でなければなりません。この解法ではそのような縛りがないから 解の組み合わせが多くなってしまっています。
- asuncion
- ベストアンサー率33% (2126/6288)
>aとbの最大公約数は6 aは6(2^1 × 3^1)以上でなければなりませんね。 これで、候補がかなり絞り込めるのではないでしょうか。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
例えば a = 2^0×3^0, b = 2^4×3^4 なんて組み合わせは絶対にありえないよね.
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