線形変換について

質問

線型代数入門（東京大学出版・齋藤正彦著）の116ページの２，３行目に「線型写像Ｔの、基底Ｅ、Ｅ’に関する行列は明らかに標準形に等しい」とありますがなぜ標準形に等しいのかわかりません。詳しい方、回答お願いいたします。

回答No.1

misumiss · ベストアンサー

まず, 114ページの真ん中あたりに,
Te_j = a_1j・e'_1 + a_2j・e'_2 + ..... + a_mj・e'_m
が成立つ, とかかれていますが, これに関しては, 理解できているでしょうか.

で, 線型写像 T：V → V' に対して,
T(V) = Im(T) の基底として <e'_1, e'_2, ....., e'_r> をえらび, さらに,
Te_i = e'_i (1 ≦ ∀i ≦ r)
となるように, V の元 e_1, e_2, ....., e_r を取っています.
さらに, T^-1(0') = Ker(T) の基底として <e_(r + 1), e_(r + 2), ....., e_n> を取ると,
E = <e_1, e_2, ....., e_r, e_(r + 1), ....., e_n> は V の基底になりますが,
Te_(r + 1) = Te_(r + 2) = ..... = Te_n = 0' ∈ V'
が成立つことを, 忘れないでください.

ここまでで, 疑問点がなにもないなら, あとは簡単です.
線型写像 T の, 基底 E = <e_1, e_2, ....., e_n>, E' = <e'_1, e'_2, ....., e'_m> に関する行列を A = (a_ij) とします.
(1) 1 ≦ j ≦ r の場合は,
Te_j = a_1j・e'_1 + a_2j・e'_2 + ..... + a_mj・e'_m = e'_j
が成立つのですから, a_ij = δ_ij となります.
(2) r + 1 ≦ j ≦ n の場合, 各 e_j は Ker(T) の元ですから,
Te_j = a_1j・e'_1 + a_2j・e'_2 + ..... + a_mj・e'_m = 0' ∈ V'
が成立ち, よって, 1 ≦ i ≦ m であるすべての i に対して, a_ij = 0 ∈ K となります.

(1) と (2) をまとめると, A = F_r(m, n), すなわち, A が標準形に等しいことがわかります.

お礼

すごくよく分かりました。詳しい解説をありがとうございました。これで先に進めます^_^