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線形代数の問題（ケーリーハミルトンの定理）です。
ケーリーハミルトンの定理を利用して、 行列Aについて、(Aの逆行列の2乗)=aA^2+bA+cIが成り立つとき、a,b,cの値を求めよ。 という問題です。 （行列Aは画像ファイルの通りです。） Aの逆行列を求めたところ(Aの逆行列)=1/12(A^2-2A-8I)となりました。 Aの3乗と4乗を求めておいて、下のようになりました。 A^3=2A^2+2A-12I A^4=12A^2+28A+24I (Aの逆行列)=1/12(A^2-2A-8I)を2乗して、2乗した答えのAの3乗と4乗に代入したのですが、Aの逆行列の2乗の答えが合いません。どのようにすればよいか教えてください。 :Aの逆行列 http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28inverse%7B%282%2C1%2C2%29%2C%281%2C-1%2C3%29%2C%283%2C0%2C1%29%7D%29 :Aの逆行列の2乗 http://www.wolframalpha.com/input/?i=%28inverse%7B%282%2C1%2C2%29%2C%281%2C-1%2C3%29%2C%283%2C0%2C1%29%7D%29%5E2
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- sunflower-san
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pdfファイルを作って、添付出来る小さいjpegに変換しています。 少量ずつ3つに切ってアップロードしています。 ご参考までに。 ひとまず1/3です。
- Tacosan
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ちょろっと Maxima で確かめてみましたが, A^3 を正しく 2A^2+8A+12I とすれば計算は合うはずです. つまり, これで答えが合わないならあなたがどこかで間違えていると思います. ただ, その線ってめんどくさくないですか? A^-1 = (1/12)(A^2-2A-8I) なら A^-2 = (1/12)(A-2I-8A^-1) ですよね.
- Tacosan
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何をやってるのかよくわからん (「2乗した答えのAの3乗と4乗に代入した」ってどういうことだ?) のだけど, 少なくとも Aの逆行列を求めたところ(Aの逆行列)=1/12(A^2-2A-8I)となりました。 と A^3=2A^2+2A-12I は食い違ってるよね.
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補足
A^3-2A^2-8A-12I=0なのでA^3=2A^2+8A+12Iと間違えていました。 ご指摘ありがとうございます。 1/12(A^2-2A-8I)を2乗すると、Aの4乗項、Aの3乗項が出てくるので、それぞれ求めておいたA^4,A^3を代入してaA^2+bA+cIを求めたということです。