複雑な式の計算（投稿二回目）

質問

前回同じ問題を質問しましたが、ほしい回答がもらえなかったのでもう一度投稿させていただきます。
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画像のV0とV1で

V0=V1

が成り立つことを証明できませんか？
Aは０，１，２，３、、、、の自然数です。

画像で見にくいところがあれば指摘してください。
お願いします
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前回の回答で指数が見にくいという指摘を頂いたので詳しく載せます
10の指数はすべて-10
積分範囲はすべて０～∞
V0のインテグラル∫の次のrの指数は分母が1+2A、分子が3+2A
V1のインテグラル∫の次のrの指数は分母が1+A、分子が3+A
V0のeの指数は-r^2
V1内のVoの指数は2
V1のexpの（）の中のrの指数はすべて2
V0、V1ともに大カッコ[ ]の指数は1/2
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それと、頂いた回答も載せておきます↓

まず Vo から。

　{ (r^B)e^(-r^2) } ' = br^(B-1)e^(-r^2) - 2r^(B+!)e^(-r^2)
らしい。
…ので、これで「部分積分？」すると、Vo の分子の定積分 (0→∞) は、
　∫r^(3+2A)e^(-r^2)dr = (1+A)∫r^(1+2A)e^(-r^2)dr
になるみたい。
正しければ、分母の定積分 (0→∞) の形です。

それを V1 へ放り込むと Vo になるのかな？

回答No.6

178-tall · ベストアンサー

訂正メモ。

問題の焦点は ∫ の前に追い出される定数 (係数) なので、たとえば、
　∫r^a e^[-{b(-10) + (1/2) }r^2] dr
　　を
　∫{a, b}
などと略記すれば、少しは見通しをのばせるかも…。
前メモ (#4) で b の係数を見損なってたので、ついでに訂正。

　[ r^a*e^{-(b+(1/2))*r^2} ] '
　= ar^(a-1)*e^{-(b+(1/2))*r^2} - (2b+1)*r^(a+1)*e^{-(b+(1/2))*r^2}
　　　↓ 定積分 (0 → ∞)
　a*∫{a-1, b} = (2b+1)*∫{a+1, b}
　∫{a+1, b} / ∫{a-1, b} = a/(2b+1)
　　　　　　　↓　これが (1+A) なら V1 = V0 が成立。
V0^2 が (1+A)*2(-10) だとすると、b = 1/2(1+A)　←　前メモでは 2/(1+A) と勘違い！

勘違いをあらためて、
　a/(2b+1) = (1+A)
とするには、b が 1/2(1+A) だから、
　a = 2+A
とせねばならぬ。

その結果が、
　(2+A)*∫{1+A, b} = {(2+A)/(1+A) }*∫{3+A, b}
　∫{3+A, b} / ∫{1+A, b} = (1+A)
なのでしょう。

回答No.5

178-tall

復習メモ。

[V0]
　{ (r^C)e^(-r^2) } ' = Cr^(C-1)e^(-r^2) - 2r^(C+1)e^(-r^2)
らしいから、「部分積分 (0→∞) 」して (左辺→ 0) 、
　C*∫r^(C-1)e^(-r^2)dr = 2*∫r^(C+1)e^(-r^2)dr
　　　　　　　　　↓
　C*∫(分母) = 2*∫(分子)
　∫(分子)/∫(分母) = C/2 = (Vo^2)/2(-10)
になる。
　　↓
　本題では、C+1 = 3+2A, C-1 = 1+2A → C = 2(1+A) なので、
　∫(分子)/∫(分母) = C/2 = 1+A = (Vo^2)/2(-10)

[V1]
　[ r^D*e^{-(a+(1/2))*r^2} ] '
　= Dr^(D-1)*e^{-(a+(1/2))*r^2} - 2{a+(1/2) }r^(D+1)*e^{-(a+(1/2))*r^2}
の定積分 (0 → ∞) 。
　D*∫r^(D-1)*e^{-(a+(1/2))*r^2}dr = 2{a+(1/2) }*∫r^(D+1)*e^{-(a+(1/2))*r^2}dr
　　　　　　　　↓
　D*∫(分母) = 2{a+(1/2) }*∫(分子)

V0 に対応させて、a = 1/(1+A) かつ ∫(分子)/∫(分母) = 1+A とするには、
　D/[2{a+(1/2) }] = 1+A
　D = [2{a+(1/2) }]*(1+A) = 3+A
とせねばならぬ。

その結果、
　(3+A)*∫r^(2+A)*e^{-(1/(1+A) + (1/2))*r^2}dr
　= (3+A)/(1+A)*∫r^(4+A)*e^{-(1/(1+A) + (1/2))*r^2}dr
を得る。

回答No.4

178-tall

[備忘メモ]

　[ r^a*e^{-(b+(1/2))*r^2} ] '
　= ar^(a-1)*e^{-(b+(1/2))*r^2} - 2{b+(1/2) }r^(a+1)*e^{-(b+(1/2))*r^2}
から、各項の定積分 (0 → ∞) を、
　∫(分母) ～ ∫r^(a-1)*e^{-(b+(1/2))*r^2}dr
　∫(分子) ～ ∫r^(a+1)*e^{-(b+(1/2))*r^2}dr
とする。
　a*∫(分母) = 2{b+(1/2) }*∫(分子)
が成立つようだ。
これから、
　∫(分子)/∫(分母) = a/(2b+1)
を得る。

たとえば、V1 にて a = 3+A, b = 1/(1+A) なら、
　∫(分母) ～ ∫r^(2+A)*e^{-(b+(1/2))*r^2}dr
　∫(分子) ～ ∫r^(4+A)*e^{-(b+(1/2))*r^2}dr
かつ、
　b = (3+A)/(1+A)
に相当するので、
　∫(分子)/∫(分母) = (3+A)/{ (3+A)/(1+A) }
　= 1+A = 1/b
が成立。

(要チェック！)

補足

∫(分母) ～ ∫r^(a-1)*e^{-(b+(1/2))*r^2}dr

の「～」ってどういう意味ですか？

回答No.3

178-tall

ひとつだけ、確認。

V1 の中の積分算式、
　(分子)　∫r^(4+A)*e^{-(1/(1+A)+(1/2))r^2}}dr
　(分母)　∫r^(2+A)*e^{-(1/(1+A)+(1/2))r^2}}dr
なんじゃありませんか？

ただし、1/(1+A) = 2(-10)/Vo^2 。

補足

いえ、私の書いたので間違いはありません。

回答No.2

Tacosan

あなたが書いたように, 部分積分すればいいだけ.

あるいは置換積分→Γ関数でもいい.

詳細は自分で計算すればわかるはず. がんばれ.

回答No.1

Tacosan

ん, 証明できそうだね.

補足

証明の過程をできるだけ詳しくおしえて欲しいです。