円と方程式の問題がわかりません

質問

2点（4.2）、(3.-1)と直線 ｌ：ｘ－2y+5=0がある。

（１）２点A、Bを通り、直線lに接する円の方程式を求めよ。

（２）点Pが直線lを動くとき、∠APBの最大値を求めよ。

（２）で、角の大小関係を表す式のところが特によくわかりません。

直線lとの接点をそれぞれP１、P2とすると、直線ｌ上の点Pが直線ABに関して同じ側にあるとき
∠APB≦AP1B

直線AB上のあるとき
∠APB＝０

点P2と同じ側にあるとき
∠APB≦∠AP２B

ということが解答に出てくるのですが
同じ側とはどういう意味かわかりません。
特に、∠AP２Bのほうが∠APBより大きいというのがなぜですか。
∠AP2Bとはどこにできる角のことですか

回答No.3

ferien · ベストアンサー

＞2点（4.2）、(3.-1)と直線 ｌ：ｘ－2y+5=0がある。

＞（１）２点A、Bを通り、直線lに接する円の方程式を求めよ。
直線ｌに接する円は２つあります。それらとの接点がＰ1とＰ2です。

中心を(a,b)，半径ｒの円の方程式を
(ｘ－a)^2＋(ｙ－ｂ)^2＝ｒ^2とすると、
A(4,2)，B(3,-1)を通るから、
(4－ａ)^2＋(2－ｙ)^2＝ｒ^2　……(1)
(3－ａ)^2＋(-1－ｙ)^2＝ｒ^2　……(2)
直線ｌが円に接するとき、
中心(ａ,b)から、直線ｌまでの距離はｒだから、距離の公式より、
|ａ－2ｂ＋5|/√{1^2＋(-2)^2}＝ｒより、
(ａ－2ｂ＋5)^2＝5ｒ^2　……(3)
(1)－(2)より、展開して整理すると、
ａ＝5－3ｂ　……（4）　(3)に代入して、
(10－5ｂ)^2＝5ｒ^2より、ｒ^2＝5ｂ^2－20ｂ＋20　……(5)
(4)(5)を(1)か(2)に代入して整理すると、
ｂ^2＋2ｂ－3＝0，(ｂ＋3)(ｂ－1)＝0より、
ｂ＝-3，1
(4)に代入して、ａ＝14，2
(5)に代入して、ｒ^2＝125，5

よって、求める円の方程式は、
円1：(ｘ－2)^2＋(ｙ－1)＾2＝5　……添付の図の円で、接点はＰ1
円2：(ｘ－14)^2＋(ｙ＋3)^2＝125　……接点はＰ2
A，Bは2つの円の交点です。
接点Ｐ1は直線ABの左側（添付図の通り）、Ｐ2は直線ABの右側にあります。
（できれば、図をかいて見てください。）

＞（２）点Pが直線lを動くとき、∠APBの最大値を求めよ。
点Pは、P1からP2までの間を動くのでしょうか？

＞（２）で、角の大小関係を表す式のところが特によくわかりません。

＞直線lとの接点をそれぞれP１、P2とすると、直線ｌ上の点Pが直線ABに関して同じ側にあるとき
＞∠APB≦∠AP1B
∠AP1Bは、円1の弧ABの上の円周角です。
PがP1と一致するときは、∠APB＝∠AP1B
Pが円1の外にあるときは、∠APB＜∠AP1B
（理由）添付図で、円1とPBの交点をQとすると、
∠AQBは弧ABの上の円周角だから、∠AQB＝∠AP1B
△APQで、∠AQB＝∠APB＋∠PAQ＞∠APB　だから、
よって、∠AP1B＞∠APB

＞直線AB上のあるとき
＞∠APB＝０
直線ABと直線ｌの交点がＰのときです。

＞点P2と同じ側にあるとき
＞∠APB≦∠AP２B
∠AP2Bは、円2の弧ABの上の円周角です。
PがP2と一致するとき、∠APB＝∠AP2B
Pが円2の外にあるときは、∠APB＜∠AP2B
理由は、円1の場合と同じです。

……ということだと思いますが。。図をかいて考えてみてください。

回答No.5

ereserve67

ANo.1です．

三つの場合分けの正統性は微分によって確かめることもできます．少し計算が大変ですが，やってみましょう．

P(2y-5,y)のとき∠APBはyの関数です．直接は表せないのでベクトルの内積を使うと，

f(y)=cos∠APB=PA・PB/(|PA||PB|)

={(9-2y)(8-2y)+(2-y)(-1-y)}/(√{(9-2y)＾2+(2-y)^2}√{(8-2y)^2+(-1-y)^2})

これを微分すると次のようになります．手計算ではしんどいので結果だけ示します．

f'(y)=(y-3)(y-5)(y-7)/((17-8y+y^2)^{3/2}(13-6y+y^2)^{3/2})

d(∠APB)/dyの符号は-f'(y)の符号，すなわち-(y-3)(y-5)(y-7)の符号に一致します．つまり∠APBはyの変化とともに

（☆）(右上矢印)3(右下矢印)5(右上矢印)7(右下矢印)

のように変化するので，y=3,7で極大，y=5では極小になります．y<3,7<yではあきらかに∠APBは0に近づきます．

だからy=3,7に対応するP=P_1,P_2における値で小さくない方が最大になります．

※☆の変化を幾何学的に捕えたのがANo.1添付の図です．∠AP_1Bと∠AP_2Bはそれぞれの場所の円の接点からなる円周角であり，ｌ上の点で円上にあるのはここだけです．それ以外は円の外にあるのでそれぞれの場所で∠APBはこれらの円周角よりも小さくなるのです．

お礼

とても詳しく教えてくださって本当にうれしいです☆

頑張って理解します。
何度もありがとうございました。

回答No.4

mister_moonlight

うっかりミス。。。。。ｗ

私の回答で　円の方程式が1個欠落してるが　それに無関係に答えは出る。
というより　これでは何のために(1)があるのか？
(1)は(2)の為の誘導ではないのか？

お礼

何度もありがとうございます。

回答No.2

mister_moonlight

それは参考書かなんかの模範解答なの？
なんでそんな下手な解答するんだろう？

円の方程式は　(x-2)＾2＋(y-1)＾2＝5。ここまでは良いだろう。
P(α、(α＋5)/2)とし、∠APB＝θとする。但し　0＜θ＜π/2　で考えても一般性を失わない。
直線：ＡＰの傾き＝(α＋1)/2(α-4)＝m、直線：ＢＰの傾き＝(α＋7)/2(α-3)＝nより
tanθの加法定理より、tanθ＝(m-n)/(1+mn)＝2(5-α)/(α＾2-4α＋11)となる。
tanθは0＜θ＜π/2の範囲で単調増加だから　θの最大値は　2(5-α)/(α＾2-4α＋11)の最大値に対応する。
2(5-α)/(α＾2-4α＋11)＝kとして分母を払って　判別式≧0だから　k≦1
この時、tanθ＝1から　θ＝π/4.

お礼

一つの問題にも何通りも解き方があるもんですね。

下方定理をに持ち込めば早く解けるんですね。
本当にありがとうございました。

回答No.1

ereserve67

(1)中心Cは線分ABの垂直二等分線:y-1/2=-1/3(x-7/2)すなわち

x=5-3y

上にあるから，C(5-3t,t)とおける．これとlとの距離は

|5-3t-2t+5|/√(1+4)=√5|2-t|

これは円の半径でもあるから

CA=√{(1-3t)^2+(t-2)^2}=√5√(2t^2-2t+1)

∴√5|2-t|=√5√(2t^2-2t+1)

(2-t)^2=2t^2-2t+1,t^2+2t-3=(t+3)(t-1)=0

t=-3,1

円の方程式は(x-5+3t)^2+(y-t)^2=5(2-t)^2であるから，

t=1のとき：(x-2)^2+(y-1)^2=5
t=-3のとき：(x-14)^2+(y+3)^2=125

(2)(1)の2円とlの接点をそれぞれP_1,P_2とすると，l：x=2y-5を円の方程式に代入して整理すれば

t=1のとき：(y-3)^2=0∴x=1
t=-3のとき：(y-7)^2=0∴x=9

つまり，

P_1(1,3)，P_2(9,7)

直線ｌ上の点Pが

直線ABに関してP_1と同じ側にあるとき

∠APB≦AP_1B

直線AB上にあるとき

∠APB＝０

直線ABに関して点P_2と同じ側にあるとき

∠APB≦∠AP_2B

よって最大値は∠AP_1Bと∠AP_2Bのうち小さくない方である．

P_1A=(3,-1)，P_1B=(2,-4)=2(1,-2)

∴cos∠AP_1B=(3+2)/√10√5=1/√2

P_2A=(-5,-5)=5(-1,-1)，P_2B=(-6,-8)=2(-3,-4)

∴cos∠AP_2B=(3+4)/√2√25=(7/5)/√2

∴cos∠AP_1B<cos∠AP_2B

∴∠AP_1B>∠AP_2B

よって最大値は∠AP_1B=45°

P_2の位置は図で確認してください．

お礼

図まで載せくださり本当にありがとうございます。

解答には三平方の定理と中心角を使って解く方法が載っているのですが
三角関数を使う方法で解けばいいんですね☆