数学の問題の解説お願いします。

質問

シニア数学演習

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Pをxy平面上の点とし、円C:x^2+y^2=1と直線 l :y=-2を考える。
円C上の点Qに対し、PQの最小値をｄ1，Pから直線lまでの距離をｄ2とし、
ｄ1=ｄ2が成り立つとする。
(1)P(x,y)の軌跡の方程式を求めよ。
(2)Pから円Cに2本の接線を引いたときの接点をA、Bとする。
　 ∠APB=60°となるときのPの座標を求めよ。

解答
(1)y=1/6x^2-3/2
(2)(±√3,-1)

解法をよろしくお願いします。

回答No.1

mister_moonlight · ベストアンサー

(1)　この問題の解答は　もう一つあるように思う。私の勘違いかも知れないが？

P(α、β)とすると、ｄ2＝｜β＋2｜。Q(cosθ、sinθ)とすると、ＰＱ＾2＝(cosθ-α)＾2＋(sinθ-β)＾2＝1＋α＾2＋β＾2-2(α*cosθ＋β*sinθ)≧α＾2＋β＾2＋1-2√(α＾2＋β＾2)。
よって、ｄ1＝｜√(α＾2＋β＾2)-1｜。α＾2＋β＾2＞1だから　ｄ1＝√(α＾2＋β＾2)-1
つまり、√(α＾2＋β＾2)-1＝｜β＋2｜となるから、これを解くだけなんだが、軌跡は2つ出る。
解答から考えると、β＋2≧0なんだが、そんな条件はない。ここが疑問。

(2)これは書き込みと計算が面倒なので、方針をかいとくから計算は自分でやって。

接線を　y＝m(x－α)＋βとして、円の方程式に代入する。それが接するから判別式＝0.
それを整理すると、mの2次方程式になる。(1-α＾2)m＾2＋2αβm＋1-β＾2＝0。
この2解をp、qとすると、p+q＝-2αβ/(1-α＾2)、pq＝(1-β＾2)/(1-α＾2)
条件から、tan60°＝√3＝｜(p-q)/(1+pq)｜に　p+q＝-2αβ/(1-α＾2)、pq＝(1-β＾2)/(1-α＾2)を代入するだけ。
2乗すればよいし、(p-q)＾2＝(p＋q)＾2-4pqを使うと良い。

お礼

とても詳しく書いてくださり
助かりました！^^
ありがとうございました。

回答No.2

mister_moonlight

書き忘れたが、(2)のαとβの間には、(1)で求めた関係式がある。
従って、αとβが求められる。

お礼

補足もありがとうございます。