楕円を角度θで回転した時のX,Yの最大値・最小値

質問

楕円を中心点を軸に角度θで回転した時のX,Yの最大値・最小値を教えてください。
以下の式を偏微分を使って挑戦してみましたが、正しい値を求められません。

((xcosθ-ysinθ)^2) / a^2 + ((xsinθ+ycosθ)^2) / b^2 = 1

アドバイス願います。

回答No.4

ereserve67 · ベストアンサー

(x,y)^Tは2行1列の列ベクトルとします．

R(θ)=((cosθ,sinθ)^T,(-sinθ,cosθ)^T)：原点まわりのθ回転行列

(x,y)がx^2/a^2+y^2/b^2=1上の点を原点まわりにθ回転した点ならそれを原点まわりに-θ回転した点

（★）(u,v)^T=R(-θ)(x,y)^T

はもとの楕円の方程式を満たすはず．

（☆）u^2/a^2+v^2/b^2=1

だから，掲載の式のθは-θでないといけないと思います．以下はそうであるとしましょう．（しかし結果は同じ結果が得られます）

☆により

u=acosｔ，v=bsint

とおけます．★により

(x,y)^T=R(θ)(u,v)^T

=R(θ)(acosｔ，bsint)^T

x=acosθcost+bsinθsint
y=bcosθsint-asinθcost

変数ｔに関して合成すると，

x=√(a^2cos^2θ+b^2sin^2θ)cos(t-α)，（cosα=acosθ/√，sinα=bsinθ/√，√はxのcos(t-α)の係数)
ｙ=√(ｂ^2cos^2θ+a^2sin^2θ)sin(t-β)，（cosβ=bcosθ/√，sinβ=asinθ/√，√はxのcos(t-β)の係数)

となります．ｔは自由に動くので，

-√(a^2cos^2θ+b^2sin^2θ)≦x≦√(a^2cos^2θ+b^2sin^2θ)
-√(ｂ^2cos^2θ+a^2sin^2θ)≦y≦√(ｂ^2cos^2θ+a^2sin^2θ)

この上限，下限が最大値，最小値です．

お礼

丁寧な説明と明確な解答を頂きありがとうございました。
問題を解決することが出来ました。

回答No.3

Tacosan

あ～, 計算さえ間違えなければ判別式でもいいのか.

回答No.2

alice_44

偏微分を使うより、
x cosθ - y sinθ = a cosφ,
x sinθ + y cosθ = b sinφ
を
x = …,
y = …
と変形して、φ で微分(常微分)
したらいいんじゃないの？

補足

恐れ入りますが、φで微分する解き方と回答を
教えて頂けますでしょうか。

回答No.1

Tacosan

その「挑戦してみました」ってのは, 具体的には何をどうしたの?

「正しい値を求められません」というなら, 何が出てきたの?