• ベストアンサー

万有引力の問題についての質問です。

もし、弾丸を地球の重力圏から脱出させるには最低いくらの初速(v)が必要か求めよ。 という問題で、解答・解説をみてみると、 力学的エネルギー保存則より 1/2mv*v+(-GMm/R)=1/2*0*0+(-GMm/∞) v=√2GM/R となっているのですが、右辺の∞をどう処理すればよいのか分かりません。 どのように考えれば良いのでしょうか? 回答よろしくお願いします<m(__)m>

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
回答No.1

Rが∞になるとは ⇔Rが限りなく大きくなる ⇔1/Rが限りなく0に近くなる すなわち1/Rが0になるということです. と考えればよいです. 例えばR=10000000000のとき1/R=0.0000000001です. つまり1/∞=0と考えて良いです.

night-20
質問者

お礼

迅速な回答有難うございました。助かりました。 また、何かあった時はよろしくお願いします<m(__)m>

全文を見る
すると、全ての回答が全文表示されます。

関連するQ&A

  • 物理の万有引力についての質問です

    物理の万有引力の質問です。問2までは解けたのですが、問3から問5まで分からず困っています。どなたか解ける方がいらっしゃいましたら、教えていただきたいです。よろしくお願いします。 〈問題〉 図1のように地上から、質量mの衛星を打ち上げて軌道に乗せることを考える。ただし、地球は点Oを中心とする密度一様な球体とし、地球の半径をR,地球の質量をM、万有引力定数をGとする。また、地球の自転による効果については考慮しない。 問1 地上での重力加速度の大きさをR, M, Gを用いて表しなさい。 mg=GMm/R^2 g=GM/R^2 問2 衛星を地上より鉛直上向きに速さ Voで打ち上げて,地球の中心から 2R の点Aに達した時に速さが0になった。この時の速さVoを求めなさい。 力学的エネルギー保存則より、 1/2mv0^2-GMm/R=0-GMm/2R 1/2mv0^2 =-GMm/2R +GMm/R          =GMm/2R mv0^2=GMm/R v0^2=GM/R v0=√GM/R 問1より、GM=gR^2より、v0=√gR 問3 衛星が点Aに速さ0で達した直後,OAに垂直な方向に速さ VAに加速して、点Aから地球の中心を通る延長線上の OB = 6R となる点Bに到着した。この時の速さVA,及び、点Bに到着した時の速さ VBを求めなさい。 間4 衛星が点Bに達した直後,速さ Vcに加速して地球に対し半径 6Rの等速円運動をさせる。その時の速さ Vcと公転周期Tcを求めなさい。 問5 地球に対し半径 6R の等速円運動をしている衛星の運動エネルギーKを用いて、この衛星がもつ力学的エネルギーを表しなさい。ただし、万有引力による位置エネルギーの基準点は無限遠とする。

  • 万有引力による運動で加速して引力圏を脱した先は?

    万有引力による楕円運動に関する質問です。 地球のまわりを回っている人工衛星を考えます。近日点距離 r,速度 vで、遠日点距離 R,速度 Vを求めます。 角運動量保存から vr=VR エネルギー保存から 1/2mv^2-GmM/r=1/2mV^2-GmM/R これを解いて V=(2GM-rv^2)/rv R=(rv)^2/(2GM-rv^2) (ちょっと見にくいですが) ここで近日点で瞬間的に加速することを考えます。つまり r 一定でvを大きくしていくわけです。 vが(2GM/r)^1/2に近づくとR→∞になります。だんだん地球の引力圏を脱するということだと思います。ここまではよいのですが、vをさらに大きくするとRは負になります。Vも負になります。 負の距離、負の速度がなにを意味するのかがわからないのです。加速していくというのは普通にできるのではないかと思うのです。無限遠の向こうには負の世界が広がっているのでしょうか。 実際に人工衛星を加速するとどういうことが起こるのか、数式の意味することはどういうことなのか、 わかりやすくご教授ください。 よろしくお願いします。

  • 高校物理、第2宇宙速度

    (問題) 地上から真上に打ち上げられたものとして、第2宇宙速度を求めよ。ただし、地球の半径をR,地上の重力加速度の大きさをgとする。 (解答) 地球の質量をM,物体の質量をmとする。求める初速度をv0とする。物体と地球の距離がrとなった時の物体の速さをvとすると、 1/2mv0^2-GMm/R=1/2mv^2-GMm/r((1)) (1)について、rが大きくなるにつれて、vは減少する。有限なrにおいて、v=0となれば、万有引力によって、物体は地球に戻ってしまう。よって、地球に戻らないためには、v=0となれば、万有引力によって、物体は地球に戻ってしまう。よって、地球に戻らないためには、r→∞の時、v≧0でなければならない。このとき、(1)の右辺≧0となるから、1/2mv0^2-GMm/R≧0⇔v0≧√2GM/R (疑問) (1)v=0となれば、万有引力によって、物体は地球に戻ってしまう。とは具体的にはどういうことでしょうか? (2)r→∞の時、v≧0でなければならないとはr→∞で成り立てば、有限なrに関してもv≧0だからですか?

  • 万有引力の問題

    問 パリとロンドンに真直ぐの地下鉄が通ってます。二都市間は重力によってのみの力で移動します。地球の半径をRとする。このときの最大速度を求めろ。 この問題の解答を見ると ポテンシャルU=∫(GmM/R^3*r)dr 積分範囲R~r となっています。なぜですか? ∫(GmM/r^2)drは見たことあります。

  • 到達高度

    この問題が分かりません・・・ 万有引力が距離の逆二乗で減ることを考慮して、質量mの物体を初速度vで垂直に投げ上げた時の到達高度hを表し、さらに、重力加速度を一定としたときの到達高度との相対誤差が1%になるような高度を求めよ。ただし地球の半径はRとする。 エネルギー保存則から 1/2mv^2 - GMm/R = 0 - GMm/(R+h) がなりたち h = v^2 R(R+h)/2GM …(1) また、重力加速度一定とすると 1/2mv^2 = mgh より h = v^2/2g  …(2) ➁/(1) = 1/100 より h = 100GM/Rg - R ≒635500km となったのですがどうも自信がないです… また、解答には h = Rh/(R-h) という等式が出てきたのですが意味が分かりません どなたかご教授ください_(_^_)_

  • 万有引力の問題

    質量Mの地球の周りを半径R、質量mの人工衛星が円軌道を描きながら回っている。この人工衛星は空気との摩擦のため力学的エネルギーを失う。(dtの間にdW>0のエネルギーを失う) (Q)摩擦による運動エネルギー、位置エネルギー、角運動量の変化量をdWを用いて表せ。 解答がないので、自分の答えがあっているのか気になっています。あまり自信はないのですが dW=(運動エネルギーの変化)+(位置エネルギーの変化)  =1/2*m*(dV)^2-G*m*M/(dR)・・・(1) v=√(Gm/r)より、(dV)^2=Gm/(dR) ・・・(2) (1)に(2)を代入すると dW=G*M*(M-2m)/(2*dR) ∴位置エネルギーの変化=-G*M*m/(dR)=-(2*m*dW)/(M-2m)・・・(3) (3)を (1)に代入すると 運動エネルギーの変化=1/2*m*(dV)^2=M*dW/(M-2m)・・・(4) 角運動量の変化はdL=(dR)*m*(dV)より dL=G*m*M*√{(M-2m)/2*dW)} 上のような解法であっているんでしょうか? よろしくお願いします。

  • 万有引力に関する問題について

    問題が解けないということではないのですが,解法や問題の解の解釈がうまく出来ないので質問させていただきました。 以下問 地球の中心からrだけ離れた地点で地球に向かってv0の速度で動いている隕石がある。この隕石が地表に落ちてくる時の速度vを求めよ。ただし,地球以外天体の影響および空気抵抗は無視する。地球の半径をR、地球の質量をM、万有引力定数をGとする。 質問一つ目 エネルギー保存則を使えば解ける問題と言うのは分かるのですが,運動方程式から導出した微分方程式では解けないのでしょうか?以下のように速度に関する微分方程式を求めたところまではやってみたのですが、その後の変数分離の仕方が分かりません d(dr/dt)/dt = GM/r^2 dr/dt = GM/r^2*t + v0 質問二つ目 この問題の解が√(v0^2+2GM(1/R-1/r))なのですが,この解ですと地表に近づくほど隕石の速度が終末速度v0になるまで落ちてしまいます。実際にこういうことが起こるのでしょうか?だとしたらなぜなのでしょうか?地表に落下してくる物体が減速していくというのがいまいち納得がいかないのですが・・・ 質問三つ目 この問題に関してではないのですが,万有引力などの保存力を議論する際になぜ無限遠方を基準とするのでしょうか?数学的には解の発散を避けるためであると言うのは分かるのですが,物理的な現象としてイメージがいまいち掴めません。 どなたかよろしければご教授ください。

  • 万有引力の所の問題だけど

     地表から高さがhの所での重力加速度の大きさghを、地表における重力加速度の大きさgと地球の半径Rを用いて表したいのですが、まったく、手がつけられずにいます。ghとg,Rとの関係性がよく分からないのです。  あと、地表から物体を水平に打ち出したときに初速がある大きさ以上であれば物体は地球の周りを回る人工衛星になります、このための最小の初速を求めたいのです。ちなみにこの速さの時物体は地表すれすれに等速円運動をします。地球の半径は6.4×10^6mとします。 これは地球の周りを回る人工衛星になるための速さとはどう出すのですか?今まで習ってきた中にそれらしきものがなく困っています。 すみませんが、教えていただけませんか?

  • 角運動の問題

    質量M、半径Rの休憩の惑星を考える。この惑星は大気を持たずに自転もしていないものとする。 この惑星の表面から水平に質量mの物体が脱出速度v0の4/5で打ち出された物体が到着できる最短距離r(中心から測って)を全エネルギー保存則と書く運動量保存則を用いて計算せよ。 この問題の解で、力学的エネルギー保存則の式が (1/2)mv^2+L^2/(2mr^2)-GMm/r=L^2/(2mR^2)-GMm/R とあるのですが、左辺になぜ「(1/2)mv^2」があるのかよくわかりません・・・。どなたか教えていただけないでしょうか?よろしくお願いします。

  • 人工衛星と楕円軌道の問題について

    大学の力学の問題です。 人工衛星が地上Hの高さで円軌道をえがいてまわっているとき、ロケットを逆噴射して速度を落とし、地球の反対側に着陸させるには、どれだけの速度に落とせば良いか。 という問題です。図も添付しました。 解答では 地球の半径をR、質量をM、人工衛星の質量をm、求める速度をvoとする。 速度を落としてからは楕円軌道になるがその長軸が2a=H+2Rになるようにすればよい。 軌道の公式、 r=l/1+εcos(θ+α)、ただしl=h^2/GM、ε=√1+(2Eh^2/G^2mM^2)を用いて a=l/1-ε^2=(h^2/GM)/(-2Eh^2/G^2mM)=GmM/-2E ∴ GmM/2a=-E=-(mvo^2/2-GmM/ro) (ro=R+H) ∴ GmM/H+2R=-mvo^2/2+GmM/H+R 以上の式を変形して vo=√2R^3g/(H+R)(H+2R) となっています。 解答ではaが楕円の長軸になるようなEを求めてから、ロケット逆噴射時の力学的エネルギーを利用してvoを求めていることはわかるんですが、 1.速度を落としてから楕円軌道になる理由 2.地球の中心を原点と考えて力学的エネルギー保存則 mvo^2/2-GmM/R+H=0-GmM/R (地球の反対側(x=-R)で着陸することからv=0とした) を使って求めることができない理由 の二つがよくわかりません。 どちらかでもいいので教えていただけると嬉しいです。 よろしくお願いします。