3囚人問題について

質問

3囚人問題で、Aが助かる確率が1/3になるには、Cが助かる確率が2/3にならなければいけません。
先ず、恩赦確率(1/3)×看守の回答(1/2)から、成り立たない(確率が0になる)ものも含め6通りの結果を出しておきます。
Bが助かる確率と成り立たない結果「C恩赦/看守『C死刑』」を消すと、答えは、「A恩赦/看守『B死刑』」「A恩赦『C死刑』」「C恩赦『B死刑』」の3通りになります。
Cから見ると、「A恩赦『C死刑』」でのリスクが消えたので、助かる確率は2/3になります。
恩赦確率計からCが助かる確率を引くと、Aが助かる確率は1/3になります。
この考えは間違っていますか？
間違っていたらご指摘お願いします。

回答No.1

itshowsun · ベストアンサー

残念ながら私にはあなたの筋道をたどることができないので、
間違っているかどうかを指摘できない。
ただ、三囚人問題の本質の把握について私とはギャップがある。
この問題は、「問題」となっているが、
厳密には「パラドックス」である。
何がパラドックスであるのかというと、
答えが同じでも質問の仕方（確率的な意味での質問内容）によって、
質問後の確率が変化すると言うことである。
よって、質問が何であるのか？
結果が矛盾する（事後確率が変化する）ような質問は何か？
これを明示してから事後確率を計算しなければ、
このパラドックスの答えにならない。
まず、事後確率が矛盾する質問には次の２つがある。

(1)A「3人のうち１人が恩赦されるのだから、BとCのどちらかが死刑になる。
よって、BとCのどちらが死刑になっても、私には関係ないので、
どちらが死刑になるか教えてくれ」
この答えは、「Bが死刑になる」か「Cが死刑になる」のどちらかである。
BまたはCが恩赦になるのは2/3であるから、Bが死刑になると分かれば、
Cが恩赦される確率は 2/3 になる。
よってAが恩赦される確率は 1/3 のままである。

(2)A「3人のうち１人が恩赦されるのだから、BとCのどちらかが死刑になる。
よって、BとCのどちらが死刑になっても、私には関係ないので、
Bは死刑になるのか教えてくれ」
この答えは、「Bが死刑になる」か「Bが死刑にならない」のどちらかである。
よって、「Bが死刑になる」ことが分かれば、AとCのどちらかが恩赦されるので
Aの恩赦される確率は 1/2 になる。

ここで問題では、(1)の質問と(2)の質問の答えが偶然一致した。
そこで、Aは(1)の答えを、(2)の質問の答えとして考え、喜んだのである。

別の答えで考えると分かりやすい：
(1)の方では、看守の答えは「Bが死刑になる」か「Cが死刑になる」
であるので、どちらの答えでも、Aの恩赦の確率は 1/3 のままである。
しかし、(2)の別の答えは「Bが死刑にならない」であり、もし看守がこう答えたなら、
Aが恩赦される確率は 0 となる。すなわち、Aは絶対に死刑になる。
(2)の答えによって A の恩赦確率は 0 か 1/2 か大きく変化したのである。