モンティー刑務官問題を思いつきました。

質問

モンティー刑務官問題を思いつきました。
東京拘置所の刑場が公開されて話題になりましたが、ニュースを見ていて
考え付いた問題です。（すみません、問題を思いついただけで正解まではわかりません）

３人の刑務官　Ａ　Ｂ　Ｃ　がいます。Ｃを自分だとします。
死刑執行ボタンは(1)　(2)　(3)　と３つあり、そのどれか１つだけが囚人の足元の踏み板を
外す回路につながっています。
３人とも、「自分の押すボタンが回路につながっているのはイヤだ」と考えています。

実は、Ｃ（自分）は「ＡとＢのどちらかは回路につながるボタンの番号を知っている」ということを
知っています。
回路につながるボタンの番号を知っている者はそのことを隠し、つながっていないボタンを当然選びます。
そうではないもう一人の刑務官は、ボタンの番号を知る者がいることも、Ｃがそのことを
知っていることも知りません。

Ａ，Ｂ，Ｃの順にひとりずつ部屋に入室してボタンの前に並びますが
(1)(2)(3)のどれの前に並ぶかは刑務官の自由です。

さて、Ｃ（自分）が最後に入室すると、残っているボタンはひとつですから、
その前に立つことになります。

このとき、Ａ，Ｂのどちらかと代わってもらえるようお願いすべきでしょうか？
また、代わってもらうとしたらＡかＢのどちらがいいでしょうか？
もしくは、代わってもらってももらわなくとも死刑ボタンを押さなくてすむ確率は
変わらないでしょうか？

皆様のお知恵を拝借したいと存じます。また、問題の不備や
「こうするともっと良い問題になる」というご意見もお願いします。

回答No.8

alice_44

あ、ホントだ。「A,B,Cの順に」って書いてある。
これだと、最初の確率は 1/3 じゃないね。

A,Bが交換を断る権利を持っている限り、

(交渉後にCがアタル確率)
= (最初にCがアタってた確率)
+ (交渉相手がアタリを知ってる確率)×(相手がアタリを持ってた確率)
＞ (最初にCがアタってた確率)

であることに違いはないが。

A,Bに断る権利が無いとすると、
No.7 にあるように、A,Bがワザとアタリを引くか、
Cがそれを読むか、の純粋な読み合になって、
駆け引き以外の要素は無くなる。

回答No.7

B-juggler

これはやはり気になるなぁ～。代数屋です。　Ｎｏ．４だっけ・・。

Ｃの交代する権利をどう取るかですか？

Ａ，Ｂは必ず交代しなきゃいけない、交代する権利を放棄してもいい。

ということだとすると、交代するＣはどっちが知っているのか分からないのだから、

Ａがスイッチを知っているとして、わざとあたりを引いておいてもいいのか・・・。

知らない振りをして代わればいいのだから。　１／９でＣに当たりがいきますね。
　＃Ａ、Ｂ　のどちらが知っているのか　があるから　１／２はかかるけど。

ちょっと考えます。これも違うかもしれない。

回答No.6

f272

#1 & #2です。

> の書き間違いでしょうか？
> ボタンの番号を知っているのがBのとき　の箇所も同じですか?

その通りです。

#3> 何もしなかった場合の確率 1/3

これが理解できない。AとBのどちらかは回路につながるボタンの番号を知っているのだから，それがどちらであっても回路につながるボタンの番号は選ばないのが自然だろう。それなのにどうして確率 1/3 と言えるのだろうか？

回答No.5

alice_44

←No.3 補足
あまり駆け引きの余地はなくて、相手の行動は、ほぼ決まっている。

(1) 交渉相手がボタン番号を知らなかった場合：
相手が交換に応じても、応じなくても、全員の「アタリ」確率は皆 1/3 で、
何も変わらない。

(2) 交渉相手がボタン番号を知っていて…

(2-1) 相手が「アタリ」を持っている場合：
交渉すれば、相手は、喜んで交換に応じる。Ｃは「アタリ」を貰うことになる。

(2-1) Ｃが「アタリ」を持っている場合：
交渉しても、相手は、交換に応じてくれるワケがない。Ｃは「アタリ」を持ったまま。

(2-3) もうひとりの刑務官が「アタリ」を持っている場合：
相手が交換に応じても、応じなくても、Ｃが「アタリ」になることはない。

以上をまとめると、交換をお願いしてみた場合、Ｃが「アタリ」になる確率は、
(1/2)(1/3) + (1/2){ (1/3)・1 + (1/3)・1 + (1/3)・0 } = 1/2.

これは、何もしなかった場合の確率 1/3 より大きいから、交渉すると不利になる。
それは、Ｃが交渉相手より情弱である可能性はあっても、逆はないことによる。

回答No.4

B-juggler

お邪魔します。ちょっと気になりました。
一応ゲーム理論は入っているものですから・・。

ゲーム理論だけで考えると、自分が不利になることをしませんから（！）、

交代してもらうというのが、できる時点でその人は知らないということになりますね。

　ＣがＡに代わってと頼んで、いいよ～　だったら　Ａは自分が死刑ボタン握っているかどうか
　分からない。　これが明白に分かってしまいます＞＜

う～んと、どうしましょうか。

例えば、ＡもＢも　ボタンを知っている。ただし、それは正しい情報なのか分からない。

五分五分で正しい、嘘だとすると、代わってくれるかな？

あるいは、ＡもＢもボタンのつながりは聞いているが、それぞれ異なり、どちらが

正しいものか分からないものとしてみます？（五分五分で）
　＃どっちかは正しいのを聞いているとしますよ。

これはＢが有利かな？　計算はしていないけどなんとなく。

交代しなければならないのなら、Ｃが圧倒的有利になるかな？　Ｂと代わればいい。
　＃たぶんだよ＾＾；

上のほうがいいかな？たぶんバランスは取れると思うけれど。
ＡＢ両者が共通の情報を持つが、それが正しいものかは不明（五分五分）。
Ｃは交代をＡＢどちらかと一度だけ要請する事ができて、それは受けなければならない。

こんな感じでどうでしょう？
交代は不利にはならないんだよね（分からないから）。
つまり、誰も不利なスタートにならないのかな？
　＃計算してみないと自信はないけど。

いらんことでした。お邪魔しました。

回答No.3

alice_44

面白い問題だけど、物語部分にもう一工夫あるといい。
相手がボタン番号を知っている刑務官で、Ｃが「アタリ」を選んでいるなら、
頼んでも、相手は交換に応じてくれないほうが自然だし、
頼んだ相手がボタン番号を知らないにせよ、知っていて交換に応じてくれた
にせよ、交換が成立する状況では、交換したことでＣは有利にはならない。

補足

おっしゃるとおりです。
相手（AorB）が交渉に応じるかどうか、まで最初は組み込んで
いたのですが、問題が煩雑になりすぎる気がして、
「代わってもらえるようお願いすべきかどうか」
に限定してあります。
ここまでなら論理とか確率の問題かな、と。
これ以上はむしろ心理戦になり、「カイジ」や「ライアーゲーム」
あるいはゲーム理論（詳しく知りませんが）の範疇かと。

回答No.2

f272

書いているうちに何だかAとBが無茶苦茶になっていた。もう一度書いておく。

ボタンはA,B,Cの順で選ぶ。

ボタンの番号を知っているのがAのとき，
Aは必ずセーフを選んで，
Bは確率1/2でセーフ，確率1/2でセーフを選ぶから，
CはBがセーフを選んでいた場合は必ずアウト，Bがアウトを選んでいた場合は必ずセーフを選ぶことになる。

ボタンの番号を知っているのがBのとき，
Aは確率2/3でセーフ，確率1/3でセーフを選び，
Bはどちらの場合でも必ずセーフを選んで，
CはAがセーフを選んでいた場合は必ずアウト，Aがアウトを選んでいた場合は必ずセーフを選ぶことになる。

ボタンの番号を知っているのがAであるかBであるかはそれぞれ確率1/2だから，以上によって
Cがセーフになるのは1/2*1/2+1/2*1/3=5/12である。

次にAに代わってもらう場合は，
ボタンの番号を知っているのがAのとき，必ずセーフになる。
ボタンの番号を知っているのがBのとき，Aが確率2/3でセーフを選んでいた場合は必ずセーフ，Aが確率1/3でアウトを選んでいた場合は必ずアウトになる。
この場合は，代わった後にCがセーフになるのは1/2+1/2*2/3=5/6である。

次にBに代わってもらう場合は，
ボタンの番号を知っているのがAのとき，Bが確率1/2でセーフを選んでいた場合は必ずセーフ，Bが確率1/2でアウトを選んでいた場合は必ずアウトになる。
ボタンの番号を知っているのがBのとき，必ずセーフになる。
この場合は，代わった後にCがセーフになるのは1/2*1/2+1/2=3/4である。

したがってAに代わってもらうのが最もセーフになりやすい。

お礼

>ボタンの番号を知っているのがAのとき，
>Aは必ずセーフを選んで，
>Bは確率1/2でセーフ，確率1/2でセーフを選ぶから，
>CはBがセーフを選んでいた場合は必ずアウト，Bがアウトを選んでいた場合は必ずセーフを選ぶことになる。

↑この部分ですが、

ボタンの番号を知っているのがAのとき，
Aは必ずセーフを選んで，
Bは確率1/2でセーフ，確率1/2でアウトを選ぶから，
CはBがセーフを選んでいた場合は必ずアウト，Bがアウトを選んでいた場合は必ずセーフを選ぶことになる。

の書き間違いでしょうか？
ボタンの番号を知っているのがBのとき　の箇所も同じですか?

回答No.1

f272

ボタンはA,B,Cの順で選ぶ。

ボタンの番号を知っているのがAのとき，
Aは必ずセーフを選んで，
Bは確率1/2でセーフ，確率1/2でセーフを選ぶから，
Cは確率1/2でセーフ，確率1/2でセーフを選ぶことになる。

ボタンの番号を知っているのがBのとき，
Bは確率2/3でセーフ，確率1/3でセーフを選び，
Aはどちらの場合でも必ずセーフを選んで，
CはBがセーフを選んでいた場合は必ずアウト，Bがアウトを選んでいた場合は必ずセーフを選ぶことになる。

ボタンの番号を知っているのがAであるかBであるかはそれぞれ確率1/2だから，以上によって
Cがセーフになるのは1/2*1/2+1/2*1/3=5/12である。

次にAに代わってもらう場合は，
ボタンの番号を知っているのがAのとき，必ずセーフになる。
ボタンの番号を知っているのがBのとき，Bが確率2/3でセーフを選んでいた場合は必ずセーフ，Bが確率1/3でアウトを選んでいた場合は必ずアウトになる。
この場合は，代わった後にCがセーフになるのは1/2+1/2*2/3=5/6である。

次にBに代わってもらう場合は，
ボタンの番号を知っているのがAのとき，Bが確率1/2でセーフを選んでいた場合は必ずセーフ，Bが確率1/2でアウトを選んでいた場合は必ずアウトになる。
ボタンの番号を知っているのがBのとき，必ずセーフになる。
この場合は，代わった後にCがセーフになるのは1/2*1/2+1/2=3/4である。

したがってAに代わってもらうのが最もセーフになりやすい。