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数列の問題が分かりません
a1=0,an+1=2an+(-1)^n+1(n≧1)で表される数列｛an｝がある。 (1)bn=an/2^nとおくとき、bn+1、bnで表せ。 (2)bnを求めよ。 (3)anを求めよ。
- yama_suzuki
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(1)a_{n+1}/2^{n+1}=a_n/2^n+(-1/2)^{n+1}であるから， b_{n+1}=b_n+(1/4)(-1/2)^{n-1} (2)n≧2のとき b_n=b_1+Σ_{k=1}^{n-1}(b_{k+1}-b_k)=a_1/2+Σ_{k=1}^{n-1}(1/4)(-1/2)^{n-1}=(1/4){(-1/2)^{n-1}-1}/{-1/2-1} =(1/6){1-(-1/2)^{n-1}} これはn=1でも成り立つ． b_n=(1/6){1-(-1/2)^{n-1}} (n=1,2,・・・) (3)a_n=2^nb_n=(1/3)(2^{n-1}-(-1)^{n-1})
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