紙ひもを使った正五角形の折り方

質問

紙ひもを使った正五角形の作り方を結び目による正五角形以外の方法がないものかと試行錯誤し
たのですがうまく行きません。勿論結び目のよる正五角形の作り方も立派な折り紙です。
　別の方法として、紙ひもの幅をLとして直角に折ってから一辺Lの正方形を作り正五角形の１つの頂点の角度が１０８度になるように折り曲げる幅をl（Lの小文字）を決められればよいとの考えで考えたのですが論理的にうまく行きません。理論的にはl＝tan18・×L　ですが、tan１８・（＝０．３２４９)の値に近いsin18・（＝(√５－１）/4=０．３０９０）に着目して黄金分割の比の求め方を応用したのです。
　一応折り紙として折ったのですが紙ひもの長さLに対して２％位の誤差があります。折り紙として見たら余り気にはならないのですが。でも、理論的には正解ではないのです。正五角形のよい折り方があったら教えて下さい。なお、添付資料も参照して下さい。宜しくお願いします。
　　以上　　八王子　ky

回答No.5

staratras

正五角形は「コンパスと定規だけで作図できる正多角形」なので、もちろん正方形の折り紙を折っても作図できます。紙ひもの端に正方形を作り、その中に正五角形を作ってしまうのも一つの方法でしょう。この「正方形の折り紙を折って正五角形を作る」やり方は「正五角形　折り紙」で検索すれば多数出てきます。

ただしご質問で求められているのは、おそらくそのような正方形の折り紙から(小さな)正五角形を作る方法ではなく、短辺に比べて長辺が長いという紙ひもの性質を生かして正五角形を作るには(結び目を作る方法以外に）どのような方法があるか、ということだと思います。そこで正確な方法と、簡単にできる近似的な方法の２通りを考えてみました。

基本的な考え方は、正五角形の内角はすべて108度なので、その外角である72度を作ることで、正五角形を作ろうというものです。

底角72度、頂角36度で底辺2の二等辺三角形ABCを考え底角ABCの２等分線とACの交点をDとすると、△ABCと△BCDは相似です。ここでAB=xとおくと、AB:BC=BC:CDからx:2=2:(x-2),すなわちx^2-2x-4=0 が成り立ちます。これを解くと、x>0 からx=1+√5

これは底辺の長さ2で底角72度の2等辺三角形の等辺の長さが1+√5であることを示していますが、これを底辺の垂直2等分線で2つに分けた、短い辺の長さが1で斜辺の長さが√5+1である直角三角形を幅1の紙ひも上に作ることを考えました。

√5は短辺1、長辺2の長方形の対角線の長さとして容易に得られますので、添付した図の通り、紙ひものはしABから1+√5のところにC,Dの印を折ります。そして端のAを通る直線で折って、Cが紙ひもの向いの辺BD上に来るようにすると、その点Eが求める頂点です。AEを結ぶと角EABは72度です。

以上の方法は、正確ではありますが少し面倒です。実はtan72°=√(5+2√5)=3.07768…と極めて3に近いので、(図でEが3に近接しているとおりです)　単純に紙ひもの幅(短辺)の3倍の長辺の長方形を作って、その対角線を折っても72度に近い角が得られます。arctan(3)=71.5650°…なので、差は0.5度未満です。