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Lorentz群の表現についての質問
- ローレンツ群の6個の生成子M^{μν}から２つの独立したSU(2)に分解して表現が書けるということでしょうか？
- ローレンツ群の表現は一般に可約であり、SU(2)L×SU(2)Rの表現は(j,j')で指定できますが、(1/2,1/2)は可約でSU(2)のスピン1表現とスピン0表現に既約分解できると思います。どちらが正しいのでしょうか？
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- eatern27
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教科書には『ローレンツ群』の既約表現であると書いてあって、 貴方は『SU(2)』の既約表現に分解できると言っているのならどちらも正しいです。 しかし、貴方の考えている既約分解の話はこの文脈では関係がありません。
補足
回答有り難うございます。 ちょっと混乱してしまいました。深く考えずに質問しますが、テンソル積で構成した表現はLorentz群としては既約であるが、SU(2)としては可約であるということでしょうか？ テンソル積空間に作用する表現はSU(2)Lの表現をD_LなどとするとD_L×D_Rとなりますが、これはローレンツ群の元ではないのですか？ それと、このような質問をしたのはベクトル場に対する表現が(1/2,1/2)であるという根拠が以下のように書かれていたからです。 (j,j')=(1/2,1/2)はベクトル場に対する表現ですが、4次元表現は(0,3/2)と(3/2,0)でも作れるわけで、なぜ(1/2,1/2)がベクトル場の表現に対応するかというと２つのSU(2)のJ_3値の和が(0,3/2)と(3/2,0)の場合は3/2だけなのに対して(2,2)は0と1があるからと書いてあったからです。0が回転に対して時間成分がスカラーであることに対応するそうです。J_3値の和というのはテンソル積空間に対して表現D_L×D_Rを作るとその生成子はJ_i×1+1×J_iのように和になるのでテンソル積で表現を構成して既約分解してスピン1表現とスピン0表現に分けたのかなと思いました。この考え方は正しいでしょうか？
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お礼
ありがとうございました。最初の疑問はほぼ解決できました。 >「これ」とはどれの事ですか？ D_L×D_Rのことです。一応表現も行列群への準同型写像なので元という言葉をつかいました。