Σの計算

質問

Σ(K=1,n)1/(k(k＋2)
=1/2Σ(k=1,n)(1/k - 1/k＋2)
=1/2((1/1-1/3)＋(1/2-1/4)＋(1/3-1/5)＋(1/4-1/6)＋…＋(1/n-1 - 1/n＋1）＋(1/n - 1/n＋2)

で計算すると最後の分母が大きい2項が残るそうですがそれについて把握ができません。
もし
Σ(K=1,n)1/(k(k＋3)という問題でしたら計算をすると最後の分母が大きい3項が残るのでしょうか？

回答No.2

youngman · ベストアンサー

式を次のように変形して考えてみたらどうですか？
Σ(k=1,n)1/k(k＋2)
=1/2Σ(k=1,n)(1/k - 1/k＋2)
=1/2((1/1-1/3)＋(1/2-1/4)＋(1/3-1/5)＋(1/4-1/6) ＋…＋(1/n-2 - 1/n)+(1/n-1 - 1/n＋1）＋(1/n - 1/n＋2)
=1/2((1/1-1/3)
＋(1/2-1/4)
＋(1/3-1/5)
＋(1/4-1/6)
:
:
＋(1/n-2 - 1/n)
＋(1/n-1 - 1/n＋1)
＋(1/n - 1/n＋2)
=1/2(1/1+1/2-1/(n+1)-1/(n＋2))
という風に1/3以降は互いに打ち消しあっていて、分母の大きい2項が残るのが分かりませんか？

お礼

わかりました。
ありばとうございます。

回答No.1

kony0

(1/2) * Σ(k=1,n){1/k - 1/(k＋2)}
=(1/2) * { Σ(k=1,n) 1/k - Σ(k=1,n) 1/(k+2) }
=(1/2) * { Σ(k=1,n) 1/k - Σ(i=3,n+2) 1/i }
=(1/2) * { Σ(k=1,n) 1/k - Σ(k=3,n+2) 1/k }
=(1/2) * [ { Σ(k=1,2) 1/k + Σ(k=3,n) 1/k } - { Σ(k=3,n) 1/k + Σ(k=N+1,n+2) 1/k } ]
=(1/2) * { Σ(k=1,2) 1/k - Σ(k=n+1,n+2) 1/k }

を体感してください。