偏微分係数の問題

質問

次の関数の（0，0）における偏微分係数を、定義に従って求めよ

f（x,y）＝（x＾3－y＾3）／（x＾2 ＋y＾2）
（（x,y）≠（0，0）のとき）
0（（x,y）＝（0，0）のとき）

↑少し見づらいかもしれませんがご了承下さい

以上の問題で他の問題と比較しながら解いたところ、fx（0，0）は解答通り1になったのですがfy（0，0）が－1になりませんでした

ちなみに、自分はyについて偏微分してから
x＝rcosθ、y＝rsinθ
を代入して求めました

解き方が分かる方簡単にでいいので解答をお願いします(>_<)

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

単なる計算間違いでは？
途中計算が書いてないので何処で間違ったかはわかりませんが？

　fy(x,y)=-y(2x^3+3x^2*y+y^3)/(x^2+y^2)^2
x=rcosθ,y=rsinθを代入すると
　fy(rcosθ,rsinθ)
　　=-sinθ{2(cosθ)^3+3(cosθ)^2*sinθ+(sinθ)^3}/{(cosθ)^2+(sinθ)^2}^2
　　=-[2sinθ(cosθ)^3+{3(cosθ)^2+(sinθ)^2}(sinθ)^2]
　　=g(r,θ) とおく。
(x,y)→(0,0)のとき
　fx(0,0)を求める時は　(r,θ)→(0,0)ですが
　fy(0,0)を求める時は　(r,θ)→(0,π/2)または(0,-π/2)
となります。

このあたりで間違えたのでは？

x,yのままfy(0,0)を求める場合と比較してみて下さい。
　lim[(x,y)→(0,0)] fy(x,y)=lim[y→0] fy(0,y)
　=lim[y→0] -(y^4)/(y^4)=-1 ...(★)

r,θを代入した後fy(0,0)を求める場合は
　lim[(x,y)→(0,+0)] fy(x,y)=lim[(r,θ)→(0,π/2)] g(r,θ)
　=g(0,π/2)
　=-[2sin(π/2)(cos(π/2))^3+{3(cos(π/2))^2+(sin(π/2))^2}(sin(π/2))^2]
　=-1　...(●）
(★)と一致します。また
　lim[(x,y)→(0,-0)] fy(x,y)=lim[(r,θ)→(0,-π/2)] g(r,θ)
　=g(0,-π/2)
　=-[2sin(-π/2)(cos(-π/2))^3+{3(cos(-π/2))^2+(sin(-π/2))^2}(sin(-π/2))^2]
　=-1　...(■)
これも(★)と一致します。　
(●）と(■)をまとめると
　lim[(x,y)→(0,0)] fy(x,y)=lim[(r,θ)→(0,±π/2)] g(r,θ) = -1
となって(★)の結果と一致します。

結果から言って
x=rcosθ,y=rsinθとおいたことでかえって遠回りして質問者さんのミスを招いたと言えなくもありませんね。でも正しく理解すればfx(0,0),fy(0,0)の極限値の意味が分かったかと思います。

お礼

回答ありがとうございますm(__)m
θには、yに関しても0を代入すべきだと勘違いをしていたため答えがあっていませんでした。
π/2を代入しなおしてみたらちゃんと-1になりました。