二次方程式の応用

質問

「数学は役に立つか」という質問に対しては、数学関係者は、数学がなければ現在の科学技術はないといいます。それは事実ですが、実際こういう事に役立っているという説明は総体的であり曖昧であり、漠として分かりません。数学という表現そのものが曖昧で、ある時は算数であったり、ある時は高等数学であったり、それをごっちゃにして議論するから意見がかみ合わない。数学がこんなに役立っていると具体的に実例を挙げたある本では、殆ど四則演算の域をでないものばかりでした。実際、実社会では工学を含めて四則演算が圧倒的多数であると思います。技術的なことで数学を必要としても、そこにはすでにかっての偉人たちが微積分やその他の高級数学を使って導き出した公式を使うだけの事でしょう。それは四則演算でまにあう簡単な式になっているのです。ただその公式を使うためだけでも、それにまつわる技術を知らなければその公式を正しく使うことさえできない筈です。
そこで質問です。二次方程式でｘに具体的な物理量が当てはまる実例があったら教えて下さい。

回答No.12

knyi

みたびNo.10（＝No.11)です。
「No.11ではあまりにもアカデミックさに欠ける」という感じでしたら，
構造力学なんかでの耐力と断面積との関係なんかはどうでしょう？
http://c-pc8.civil.musashi-tech.ac.jp/RC/class/lesson/lesson_pdf/kaitou-y2.pdf
あまり良い例ではないのですが，上記PDFファイルの３ページ目など。

参考URL：

http://c-pc8.civil.musashi-tech.ac.jp/RC/class/lesson/lesson_pdf/kaitou-y2.pdf

回答No.11

knyi

No.10です。
せっかくなので，ストーリーをつけてみました。
　Ａさんは，倉庫を作ろうと思っています。中に置くものの形状や重さの関係と建材のコストの関係から，建物は上方からみて不整形ではなく方形，できれば正方形の建物を建てたいと考えています。
　また，万一の火災や事故のときのため，車両等が通れる通路幅を建物に隣接して確保しようとも考えています。ただし，４辺ともまでは必要なく，いずれか１辺に確保されていればなんとかなりそうです。
　そのための土地を買うにあたって，準備できる資金には限りがありますが，購入しようとしている土地は面積単価が当然決まっており，購入できる面積には上限があります。但し，形状は自由がききそうです。
　さて，手持ちの費用を使って，なるべく条件に近い大きな土地を買うには？

回答No.10

knyi

こんな問題がありました。
横が縦より３cm長い長方形がある。その面積を２８cm２としたいとすると，各辺の長さは？
Ｘ＊（Ｘ－３）＝２８
Ｘ＾２－３Ｘ－２８＝０
（Ｘ－７）（Ｘ＋４）＝０
Ｘ＝７（と－４）
横を７ｃｍにすれば良いんだ！というような場合。

『「横が縦より３cm長い長方形でその面積を２８cm２としたいとする」こと自体が，実世界ではあり得ない』と言われればそれまでですが。

回答No.9

2718281828

失敬しました。#8です。

> 例えば抵抗 R の負荷が消費する電力 P は、負荷を流れる電流を I とすると、P = IR^2 ですね。

× P = IR^2
○ P = RI^2

あなたや他の回答者さんはすぐに気がつくでしょうけれど、他の閲覧者の方が混乱するといけませんので。

回答No.8

2718281828

> 定数Cがゼロでないとした、それは何を意味するのでしょう。
> ｙは制動距離だからそこに定数はあり得ない。やはり一般式にはあてはまらない？

原点をどこにとるかというだけの話ですよ。それは現象の本質ではありません。Cが定数で何がおかしいのですか？

ま、ご質問は二次方程式の例ということですので、そちらの回答に絞ります。一般に、y = ax^2 の形になる物理量は沢山あります。それら全て、原点を移動することで

y = ax^2 + bx + c

の形になり得ます。もちろん、数式上で変形するだけの無意味なものではありません。例えば、質点の運動エネルギー Ek は運動量 p の二乗に比例します。

Ek = (1/m)p^2

質点の運動量が p から p + Δp に変化した場合の運動エネルギーは、

Ek = (1/m)(p + Δp)^2 = (1/m)Δp^2 + (2/m)pΔp + (1/m)p^2

と、Δp の二次関数で表されます。同様に、例えば抵抗 R の負荷が消費する電力 P は、負荷を流れる電流を I とすると、P = IR^2 ですね。これも I → I + ΔI を考えると二次関数になります。

このように、

y = ax^2 + bx + c

の形をとるか、

y = ax^2

の形をとるかは現象の本質と何の関係も無い事がお分かりいただけますね。

これで納得できないようでしたら、静電容量 C のコンデンサに i(t) = (A/2)t + i0 という電流を流すと、コンデンサ両端の電圧 vc(t) は

vc(t) = (A/C)t^2 + (i0/C)t + vc(0)

になります。また、既に面積 S0 の土地を持っている人が、一辺 L の正方形の土地を買いました。翌年、その正方形の土地の一辺を N だけ伸ばして買い足したとします。その人の所有する土地の面積 S は、

S = S0 + L^2 + NL

になりますね。放物運動や制動距離もそうですが、特殊な問題に絞り込めばいかようにでもこじつけることは可能だと思いますよ。

補足

＞原点をどこにとるかというだけの話ですよ。それは現象の本質ではありません。Cが定数で何がおかしいのですか？

原点を移動したときの定数とは何を意味するのですか。それは制動距離ではない。物理量は単なる数字とは違うと思いますが。

y = ax^2 において、ｘ を ｘ+Δｘ として展開すれば当然
y = aΔx^2 + bΔx + c の形になります。 がこれ単なる式の変形で y = ax^2 から一歩も出ていません。
しかしなぜそんな面倒なことをして Δｘ を求めるのですか。
ｘ+Δｘ→ｚ とすれば y = aｚ^2 から ｚ が得られます。Δｘ＝ｚ－ｘ です。

私の最初の質問が悪かったようです。
私は三次方程式ですが、ファン・デル・ワールスの式をイメージしていました。それは理想気体の状態式を修正した物で ｘ→ｘ+Δｘ として展開したものではありません。

ｖ＾3 -（RT/ｐ + ｂ）ｖ＾2 + （a/p）ｖ - ab/ｐ＝０

このような形での工学で使用されている二次方程式はないのか質問したかった訳です。

ご回答ありがとうございました。

回答No.7

wolv

回答No.1の続編です。

回答No.1の(2)から、
　t2 = -v0/a.
これを回答No.1の(1)に代入して、
　y　= v0 t1 + 1/2 a (-v0/a)^2
少し整理すると、
　y = 1/2 a (v0)^2 + v0 t1.

これは、
　y = A x^2 + B x + C
のx,A,B,Cを、 x = v0, A = 1/2 a, B = t1, C = 0 と置いたものになっています。
これって「二次方程式の一般式 ｙ＝ax^2+bx+c にあてはまる例」といえないんでしょうか。

定数項Cが0だからだめなのかな

補足

定数Cがゼロでないとした、それは何を意味するのでしょう。ｙは制動距離だからそこに定数はあり得ない。
やはり一般式にはあてはまらない？

回答No.6

Freeuser

パラボラアンテナのお皿の部分は二次関数をその軸に関して回転させた形をしています。また、懐中電灯の電球の周りの反射鏡みたいなのもやはりこのような形状をしています。
反射鏡のちょうど焦点の位置に電球を置くと、光は放物面に反射して平行に出て行きます。平行に光が出たほうが効率がいいですよね。逆に、平行な光（あるいは電波とか）がパラボラに入ってくると反射して一点で交わりますが、そこにセンサーを置いておけば効率よく情報を受信できます。

補足

これは単に数字を使用しているだけですね。
物理量ではありません。

回答No.5

noname#6248

二次方程式のグラフは放物線と言いますよね？
つまりは物を投げた時の投影とも言えるわけです。
ちなみに地球上では重力加速度ｇ＝9.81(だったかな)と言う値になります。
ですから、式にせずとも結構見る機会はありますが
無意識のうちに『この位かなぁ』という当たり付けたりするので、
意識的に数式にすると？となる事も多いんですよね。
それはまるで『猫踏んじゃったは楽譜を見ると弾けない』と同じような理屈でしょうか…

#1の補足『ｙ＝ax^2+bx+c』についてですが、
ａは加速度、ｂは初期速度、ｃは初期位置、ｘは時間とすると
ｙは道のりになります。at^2＋v0tなぁんていう式の根本ですね。
ちなみに加速していない時、ａ＝０で等速直線運動になります。

つまりこの式、動いている物の殆どに応用が出来ますし、
高校レベルの物理で必ず出てきます。『動きを考える時』に実に有効な式でしょうね。

例)空気抵抗を無視できる時、物を落としてから地面に付くまでの時間
それぞれ当てはめれば計算できますね
この場合、加速度は重力加速度ｇを使います。

物を投げ上げれば初期速度がありますし、
がけの上から投げ上げたならば初期位置も関係してきますよね。
時間と高さのグラフ…ほら放物線のできあがり。
球技等が下手な人は大脳で大体予想するために出てくるかもしれませんが
を小脳で反射的に行なう程度の式なのであまりにも身近すぎて気がつかないと言うところもあるかと思います。

式の変形も、物を投げ上げて一番高い位置を知りたければ頂点が解る形にして、
ある高さになるのは何秒後と何秒後？と言う事が知りたければ因数分解のような形になる…
語りだすと延々と続くのでとりあえずこのへんで失礼します。

お礼

放物体の運動や軌跡については、高校の物理に必ずでてきます。＃1では言葉が足りませんでした。
二次方程式の一般式で、放物体以外の例というべきでした。
ありがとうございました

回答No.4

neue_reich

やはり２次方程式ではないのですが…

プログラミングなどで有名な２分探索では
その速度を測る（予想する）ためにlogを使用します。
これも、数学を役に立てている例だと思います。
（プログラミングではクイックソートが有名どころです）

logが四則演算かどうかは微妙なところですが…

お礼

ありがとうございます。
あくまで二次方程式の応用例を聞いています。

回答No.3

cbento350

二次方程式ではありませんが、仕事である装置での必要な反応温度の推算、製品性状の推算などにアレニウス式を使っています。

＜アレニウス式＞
　　k = Aexp(-E/RT)
　　　k：反応速度式
　　　A：定数
　　　E：活性化エネルギー
　　　R：気体定数
　　　T：絶対温度

お礼

ありがとうございます。
アレニウスの式も重要な式で、触媒反応で使います。
しかしなぜか二次方程式には縁がないのです。