複素関数論の問題

質問

f(x)=exp(mx)/{1+exp(nx)}
上記の関数f(x)に対して、実関数の積分
∫[-∞→∞] f(x) dx
を複素積分を用いて解きなさい。ただし、0<m<nである。

上に示した問題（某大学院の過去問）について解けなくて困ってます。
解法をよろしくお願いいたします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

留数定理を ∫[-∞,∞] に応用する計算として、型どおりの例です。

概ね A No.1 のようにすればよいのですが、その際、
[-R,R] での積分が R→∞ の極限で収束することを示しただけでは、
[-∞,∞] での積分が収束することを示したことになりません。
(主値の収束だけを示したことになる。)

実区間 [a,b] と、b から a へ上半平面を通って行く経路 C を考え、
閉路積分 ∫[a…b]f(x)dx + ∫[C]f(z)dz を計算しましょう。
C 上での |z| の最小値が →∞ となる極限を考えれば、
同じ目的を、正しく果たしたことになります。

結果は、同じく
与式 = lim 閉路積分 = (2πi) Σ[k=0→∞] Res[f,iπ(2k+1)/n]
です。(値の算出は、御自分で。)

∫[C]f(z)dz を評価するには、
C 上で |z| ≧ t と置いて、|f(z)| ≦ g(t) となる g を見つけ、
∫[C]f(z)dz ≦ πt g(t) を利用しましょう。

お礼

補足詳細説明ありがとうございます。
おかげさまで解くことができました。
ありがとうございました。

回答No.3

alice_44

済みません。誤記訂正です。

| ∫[C]f(z)dz | ≦ πt g(t) を利用しましょう。

回答No.1

rnakamra

複素関数f(z)=exp(mz)/{1+exp(nz)}　を次のような閉じた経路で積分しましょう。
z=r*exp(iθ)　とします。
(1)実軸上をz:-R→R　つまりθ=0,r:-R→R
(2)"0"を中心にz=Rからz=Riまで円周上を1/4周　つまりr=R,θ：0→π/2
(3)"0"を中心にz=Riからz=-Rまで円周上を1/4周　つまりr=R,θ：π/2→π

(2),(3)は同じ円周上の積分ですがあえて分けます。R→∞としたときの収束の判定方法が異なるために分けます。

(1),(2),(3)の経路はちょうど閉じているため、積分した値は留数定理を用いて求めることができます。
後はR→∞とすると(1)の経路での積分の値が求める値となり、(2),(3)はそれぞれ収束します。積分の経路の長さがRに比例しますので、関数の値が1/R^2よりも早く"0"に収束することを示してしまえばよいでしょう。
１周したところでの積分の値ですが、閉じた経路に囲まれた特異点の数自体は無限大に発散します。ご注意ください。

お礼

詳細説明ありがとうございます。
経路の取り方に困っていたので、助かりました。