数学のテストの証明問題

質問

1×2×3×4+1=25=5^2
2×3×4×5+1=121=11^2
3×4×5×6+1=461=19^2

連続した4つの自然数を、x、x+1、
x+2、x+3としてこれらのことが
成り立つことを証明しなさい。

という内容です。
テストで出来ませんでした。
誰かできる人はいませんか?
返事を待ってます。

回答No.5

tsubuyuki · ベストアンサー

とりあえず、式を書いて見ましょ。

４つの自然数を全てかけて、１を足すのだから、
x(x+1)(x+2)(x+3)+1　・・・（１）
と書けますね。

入れ替えて、ちょっとずつ抜き出します。
{x(x+3)}{(x+1)(x+2)}+1　・・・（１）’
ここから、
x(x+3)=x^2+3x　・・・（２）
(x+1)(x+2)=x^2+3x+2　・・・（３）
共通する x^2+3x を A と置き換えると、
（２）式は A
（３）式は A+2
これを（１）’式に代入
A(A+2)+1=A^2+2A+1=(A+1)^2

よって、ある自然数ｘより連続する４つの自然数に１を足すと、
(x^2+3x+1)^2 であることが証明された。

ってことかな。

出遅れたけど、せっかくだからｗ

お礼

回答してくれた皆様ありがとうございました。
またわからない問題があったら質問しますのでよろしくお願いします。

回答No.6

asuncion

ついでに…

(x^2+3x+1)^2
={x(x+3)+1}^2

ですので、最初の数値と最後の数値をかけてから1を加えた値の2乗、
ということもわかりますね。

回答No.4

ferien

ｘ（ｘ＋１）（ｘ＋２）（ｘ＋３）＋１
＝ｘ（ｘ＋３）（ｘ＋１）（ｘ＋２）＋１
＝ｘ（ｘ＋３）（ｘ^2＋３ｘ＋２）＋１
＝ｘ（ｘ＋３）｛ｘ（ｘ＋３）＋２｝＋１
ここで、Ａ＝ｘ（ｘ＋３）とおくと、
＝Ａ（Ａ＋２）＋１
＝Ａ^2＋２Ａ＋１
＝（Ａ＋１）^2
＝｛ｘ（ｘ＋３）＋１｝^2

でどうでしょうか？

回答No.3

asuncion

＞3×4×5×6+1=461=19^2

361ですね。また、

＞これらのことが

これらのこと、の定義があいまいですが、「整数の2乗になる」ということでしょうか。
だとすると、

x(x+1)(x+2)(x+3)+1
=x(x+3)(x+1)(x+2)+1
=(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1
=(x^2+3x)^2+2(x^2+3x)+1
=(x^2+3x+1)^2

回答No.2

yyssaa

x(x+1)(x+2)(x+3)+1=x^4+6x^3+11x^2+6x+1
=x^2{x^2+6x+11+(6/x)+(1/x^2)}
=x^2{x^2+(1/x^2)+6(x+1/x)+11}
=x^2{(x+1/x)^2+6(x+1/x)+11-2}
=x^2(x+1/x+3)^2=(x^2+3x+1)^2

回答No.1

noname2727

x(x+1)(x+2)(x+3)+1
=x^4+6x^3+11x^2+6x+1
=(x^2+3x+1)^2

よって成立。

最後の等式は多分頭の中で考えて見つけるのは大変だと思いますので。
（　）＾２になることと、前の式のｘ＾４の係数と定数項をみると、
（ｘ＾２+ax+1）^2でかけることが予想されますので、これを展開して係数比較すると出てきます。