数学的帰納法の証明問題が分かりません

質問

nが自然数のとき、
1^2+2^2+…+n^2=1/6n(n+1)(2n+1)
が成り立つことを数学的帰納法で証明せよ。

回答No.1

entap · ベストアンサー

なんでこれを数学的帰納法で証明しようとするのか、問題の意図がわかりませんが、それはともかく…

1/6n(n+1)(2n+1)について、n=1の時、成立。
n=kの時成立するとする。
n=k+1の時、1/6k(k+1)(2k+1)+(k+1)^2=1/6(k+1)(k+2)(2k+3)=1/6(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)
よって、k+1の時も成立する。
n=1の時成立するため、順番に全ての自然数について、
1^2+2^2+…+n^2=1/6n(n+1)(2n+1)
が成立する。
QED.

お礼

ご丁寧な解答ありがとうございました。

回答No.2

bara2001

(1)　n=1　のとき、与式は成り立つ。

(2)　n=k　のとき与式が成り立つ場合、n=k+1　でも与式が成立することを証明すればよい。

これで　n=1　成り立てば　n=2　でも成り立つ。
これで　n=2　成り立てば　n=3　でも成り立つ。
これで　n=3　成り立てば　n=4　でも成り立つ。
　　・
　　・
　　・

と、いうこと。

具体的にはｎに　(ｋ+１)　を代入する。
ただし左辺の
　1^2+2^2+…+k^2+(k+1)^2
は(2)の前提条件から
1/6k(k+1)(2k+1)+(k+1)^2
となる。
これで　n=k+1　のときに左辺と右辺が等しくなることを証明するだけ。

お礼

わかりやすい説明をしてくださって
ありがとうございました。