命題と証明

質問

x,yは実数とする。次の命題の真偽を調べよ。
また、その逆・裏・対偶を述べ、それらの真偽を調べよ。

(x－3)(y－6)＝0ならば「x＝3またはy＝6」

こういった問題なのですが、ほとんど分からなくて・・・。
できれば私にも理解しやすいように
証明など詳しく書いていただけると本当に助かります。
よろしくお願いします。

回答No.1

noname#175206 · ベストアンサー

「Aならば、Bである」を命題とすると、

逆：「Bならば、Aである」
裏：「Aでないならば、Bでない」、「Not AならばNot Bである」（Notは否定）
対偶：「Bでないならば、Aでない」、「Not Bならば、Not Aである」

となります。命題が真であるとき、対偶は必ず真となります。

命題：(x－3)(y－6)＝0ならば、「x＝3またはy＝6」である。

　この「x＝3またはy＝6」は、x＝3か、y＝6か、少なくともどちらか一方が成り立つということです。
　x≠3なら、x－3≠0より、y－6＝0　∴y＝6以外にない。　←0で割らないよう注意
　y≠6なら、y－6≠より、x－3＝0　∴x＝3以外にない。　←同上
　上記以外として、「x＝3かつy＝6」（これは「x＝3またはy＝6」に含まれています）ならば、与式は0＝0で成立する。
　したがって、命題は正しい。

逆：「x＝3またはy＝6」ならば、(x－3)(y－6)＝0である。

裏1：(x－3)(y－6)＝0でないならば、「x＝3またはy＝6」でない。　←数学は言葉で考えないほうが良い
裏2：(x－3)(y－6)≠0ならば、「x≠3かつy≠6」である。　←不等号を用いたほうが楽

　逆と裏2は、命題と同様に丹念にやってみてください。

　上記は「ド・モルガンの法則」を参考にしてください。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%89%E3%83%BB%E3%83%A2%E3%83%AB%E3%82%AC%E3%83%B3%E3%81%AE%E6%B3%95%E5%89%87

対偶：「x≠3かつy≠6」ならば、(x－3)(y－6)≠0である。　←裏の逆と考えると早いかも。

　この対偶は命題が正しいので必ず正しくなりますので、確認してみてください。

　もし何かありましたら、補足欄で仰せつけください。

P.S.

　因果関係、時間関係があると、単純な対偶表現がおかしくなることがあります。自然言語特有の問題かもしれません。

例：命題「叱られ『ない』と勉強し『ない』」が真であれば、対偶「勉強すると叱られる」も真である。（よって勉強なんかしてられない）

お礼

丁寧な回答ありがとうございます！
裏が特に理解できなかったのでとても助かりました！

自力で解けるよう、こちらの回答を見ながらノートにやってみたいと思います。