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3次正方行列が対角化不可能になる条件
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- griffithxzb
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過去の質問 http://okwave.jp/qa/q7495952.html に、貴方自身が > a を残したまま |A-λE|=0 を計算して > 特性方程式が重解を持つように解いたら a=1,0 でした。 > a=1 と a=0 でそれぞれ代入して計算したら、 > a=0 はダメで a=1 はokでした。 と書いているんだけれども、 その後何が起こったの? ←大切なことなので、要補足 |A-λE| = (1-λ){(2-λ)^2-a} だから、 固有値が重根になるのは a=0 のときの固有値 2 と a=1 のときの固有値 1 のみ。 a=0, λ=2 のとき A-λE = (0 0 1) (1 0 1) (0 0 -1) の rank が 2 だから、 固有空間の次元は 3-2 で固有値の重複度 2 より小さい。 よって対角化不能。 a=1, λ=1 のとき A-λE = (1 1 1) (1 1 1) (0 0 0) の rank が 1 だから、 固有空間の次元は 3-1 で固有値の重複度 2 と一致する。 よって対角化可能。 何を困っているのさ?
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- Tacosan
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a = 1, 0 のそれぞれのときに固有値はどうなりました? そして, 「固有空間の次元」をどのように計算し, その結果はどうなりましたか? また, 前にも書いたように 行列 A が対角化可能 ⇔ A の最小多項式が単根しか持たない です. 従って, 固有値がわかっているなら「対角化可能と仮定したときの最小多項式」が求まりますから, 実際に計算してみることもできます.
お礼
実はa=0で計算ミスしていました。 a=0で合っています。 ありがとうございます!すみませんでした!
- Willyt
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対角化不能の条件は重根の他にAのランクが下がるということもありますから|A|=0が成立する場合もあるということでしょう。そうすると 4-a=0 つまり a=4となります。
お礼
実はa=0で計算ミスしていました。 a=0で合っています。 ありがとうございました!
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