行列の対角化について

質問

n次正方行列Aがある対角行列と相似の時、行列Aの各特性根αに対する固有空間の次元の和がnになることは分かるのですが、各特性根αの（特性方程式の）重複度と固有空間の次元が一致するのがなぜだか分かりません。どなたか教えてください。お願いします。

回答No.2

scale--free · ベストアンサー

一般の行列Ａに対して、特性根の重複度と対応する固有空間の次元は一致しません。
これは質問者さんの言うとおりです。

しかし、今の場合は一致する特別な場合です。
例えば、対角行列が
Λ＝diag(1,1,2)
としましょう。それでＡ＝ＰΛＰ＾{-1}とします。
このとき、固有値１の固有空間の次元は２です。

さて、特性方程式を考えてみると、
ｆ（λ）＝det（λＩ－Ａ）＝det(λＩ－Λ）＝（λ－１）^2（λ－２）
となります。
固有値（特性根）１の重複度は２となって、固有空間の次元と一致します。

この計算は一般の場合でも成り立つことが分かると思います。

お礼

ありがとうございます。対角化してから特性方程式を考えると、固有値の次元と重複度が一致することが分かりますね。助かりました。

回答No.1

adinat

n次正方行列Aが対角化可能であるとは、P^{-1}AP=T（Pは正則、Tは対角）とできることです。
したがって、AP=PTとなります。Pを縦ベクトルp_1～p_nが横に並んだ行列P=(p_1,…,p_n)とみなします。
さらにT=diag{α_1,…,α_n}とします。つまり対角成分がα_1～α_nの対角行列としているわけです。
成分計算を具体的に実行してみると、Ap_1=α_1p_1,…,Ap_n=α_np_nがわかります。
したがって、p_iは固有値α_iに属する固有ベクトルです。またPは正則だったから、p_iたちは一次独立。
もし、固有値（つまり特性根）がr個重複していれば、そのr個に対応する一次独立な固有ベクトルがあるので、
したがって、その固有空間の次元はrであることが結論されます。

お礼

ご丁寧な回答ありがとうございます。
ただ対角化可能な行列の固有値の重複度と固有空間の次元がなぜ一致するのかが分かりません。重複度がrなら、なぜr+1個以上の固有ベクトルが取れないのですか？
関係ない例かも知れませんが、(1,1)成分が1、(1,2)成分が2、(2,1)成分が0、(2,2)成分が1の行列の固有値は1で、その重複度は2ですが、固有空間の次元は1になります。この行列は対角化可能でないので構わないのですが、、、