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不完全性定理は素人には理解できませんか？
不確定性理論は概念として理解できます でも不完全性定理は？？？ ω無矛盾性や公理系とかどうもわかったようなわからんような、、、 正直しっくりこないです どなたか単純な系を例示して御教授いただけませんか？
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ユークリッド幾何学にまつわる不完全性定理的理解について ゲーデルの不完全性定理の対象となる数学は『公理系Ｎが無矛盾である』が前提です。ユークリッド幾何学は 一階述語論理で表されることが出来る自然数の部分集合であって、ゲーデルの不完全性定理の対象である 公理Ｎの無矛盾である 論理の対象になってないとなり それ以上のユークリッド幾何学の論理的理解が進みません。そこでゲーデル理解を拡張して『公理系Ｎが無矛盾ではない』として不完全性定理を理解すると（須田隆良氏、中西章氏など） (1)ゲーデルの第一不完全性定理の解釈＝＝＞公理系Ｎが無矛盾であろうがなかろうが 公理系Ｎにおいて、「公理系Ｎにおいて命題は証明可能である。」という命題も、「公理系Ｎにおいて命題は証明不可能である。」という命題も証明不可能である (2)第２不完全性定理の解釈＝＝＞公理系Ｎが無矛盾であろうがなかろうが その無矛盾性を証明できない となります。これらはゲーデル不完全性対象から外れておりますが、対象外のユークリッド幾何学を理解するには都合がよい と思うのです。 (2)によりユークリッド幾何学の公理の無矛盾性は証明できない。 (1)によりユークリッド幾何学の未定義領域（非ユークリッド幾何学、虚数、無限遠点とか）は 公理系Ｎにふくまれ 多くの証明できない命題があることになります。もちろん 公理定義内では完全性理論は保証されています。 なぜ このようなユークリッド幾何学に こだわる かと申しますと 世の中の 論理（数学、哲学、論理を用いた論文 など）は ユークリッド幾何学的なものが 圧倒的に多いと思うのです。これら論文は ほとんどは一階述語理論で表され かつ ゲーデル不完全性定理 対象論理ではないのです。それら論文の特に(2)に関わる自己証明は出来ない ということは重要であると思うのです。もちろん 自己証明が出来ないと言って間違いとはなりません が 常に 冷静に謙虚に 主張理論の原点を見直すことに 繋がっていると思うのです。勿論、論理構成が出来ていないシロモノは 論外であります。 以上のように理解しているのですが、ユークリッド幾何学にまつわるゲーデル不完全性定理の場外理解は問題ないでしょうか。諸先生のコメント頂けましたら幸甚です。
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私がよく分らないのは ゲーデルの第１不完全性定理です。『形式的体系Ｓにおいて、形式的体系Ｓが無矛盾である限り、「形式的体系Ｓにおいて命題は証明可能である。」という命題も「形式的体系Ｓにおいて命題は証明不可能である。」という命題も証明不可能である。』 と表される（別表現もありますが）とあります。 ここで現れる命題は抽象的言語であってよく分らないのです。例えばユークリッド幾何学においてはこの具体例は何でしょうか。私の理解は 『例えば無限遠点において平行線は交わるは証明可能である』はその例のように思うのですが 間違っているでしょうか。 問題は 無限遠点が公理を用いて表されるか どうか という先輩のご指摘があり公理をあらためてみてみますと 公理２に線分を限りなく伸ばすことができる とあります。つまり無限遠点は「公理２の限りなく線分を伸ばした点」と理解され 公理の定義を用いることで表されるとおもうのです。間違っているでしょうか。参考までに公理を挙げておきます。 ＜ユークリッド 幾何学の公理＞ （公理１）与えられた２点に対して、それらを結ぶ線分をちょうど１つ引くことができる。 （公理２）与えられた線分は、どちらの側にも限りなく伸ばすことができる。 （公理３）平面上に２点が与えられたとき、一方を中心とし、他方を通る円をちょうど１つ書くことができる。 （公理４）直角はすべて相等しい。 （公理５（平行線公理））直線外の１点を通り、その直線に平行な直線は１本に限る
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