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線形代数の問題が分からないので教えて下さい。
Uをベクトルv1=(2,1,1)とv2=(-1,2,0)が張る線形部分空間とする。 そのとき、点y=(10,20,2)から最も近いU上の点v0を求めよ。 原点Ｏとv0は平面U上にあり、Ｏ,v0,yでつくる角度は90度である。(直角三角形をつくる)
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話の都合上y = (10,20,2)の代わりに r0 = (10,20,2) という記号を使うことにします． ベクトルn = (2,1,-5)はv1とv2の両方と垂直ですから，点nを通ってaを方向ベクトルとする直線Lを考えると，L上の点の位置ベクトルrはパラメタtを用いて次のように表される： L: r = r0 + n t. すなわち，座標(x,y,z)を用いて L: x = 10 + 2t, y = 20 + t, z = 2 -5t. …(1) # ベクトルnをどうやって見つけたのかというと， # ベクトル積 n = v2 × v1 # として見つけています． また，nは平面Uの法線ベクトルであり，Uは原点Oを通ることから，平面Uの方程式は次のように書ける： U: ｎ・r = 0. すなわち，座標(x,y,z)を用いて U: 2x + y -5 z = 0. …(2) (1)を(2)に代入すると， 30 + 30t = 0. ∴ t = -1. したがってUとLとの交点は(8,19,7)これが求める点v0である： v0 = (8,19,7).
お礼
パラメータを用いて表現するのはとても僕には難しかったですが何とか理解出来ました。早い応答していただいてありがとうございます。
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お礼
内積を使えば解けるということですね。とても分かりやすかったです。ありがとうございました。