大至急お願いします

質問

大至急お願いします
円(x－1)^2+(y－1)^2=1と直線y=mxがあり円と直線の交点を原点に近い順にA.B,円の中心をCとする。ただしm>1である

(1)三角形ABCの面積Sの最大値、角ABCを求めよ
(2)m>1のときABの長さをmを使って求めよ
(3)Sが最大値のときのmの値を求めよ
これがさっぱりわかりません
誰か教えてください、お願いします

回答No.3

h_m_kiohsi

(1)
0<∠ACB<180°
なぜならば、m=1でA,C,Bが一直線上に並び、∠ACB=180°
以下、mが大きくなるにつれて∠ACBは連続的に小さくなり、
m→∞に近づくとA,Bはともに、(0,1)に近づくので∠ACB→0°

よって三角形ACBの面積S=1/2*AC*BC*sin∠ACB=1/2*sin∠ACBより
Sの最大値は1/2(∠ACB=90°の時)
この時∠ABCは45°(頂角90°の二等辺三角形)

(2)
y=mxを(x-1)^2+(y-1)^2=1に代入
(x-1)^2+(mx-1)^2=1
(m^2+1)x^2-2(m+1)x+1=0
x={m+1±√((m+1)^2-m^2-1)}/(m^2+1)
={m+1±√(2m)}/(m^2+1)

よってAとBのx座標の差は
2√(2m)/(m^2+1)
y=mxの傾きnよりABの長さはAとBのx座標の差の√(m^2+1)倍
だからAB=2√(2m/(m^2+1))

(3)
(1)よりS最大の時のABは√2(等辺の長さ1の直角二等辺三角形)
2√(2m/(m^2+1))=√2
より、両辺2乗して整理すると
8m=2(m^2+1)
m^2-4m-1=0
m=2±√3
m>1よりm=2+√3

回答No.2

info22_

問題の問の順は(2),(3),(1)の順の方が自然だと思いますが如何ですか？

(2)
直線の式y=mxから
　mx-y=0
点C(1,1)と直線との距離d
　d=|m-1|/√(m^2+1)=(m-1)/√(m^2+1) (∵m>1) ...(A)

(3)
　AB=2*√(1-d^2)=2√(2m)/√(m^2+1)
△ABCの面積S=AB*d/2=d√(1-d^2)=(m-1)√(2m)/(m^2+1) (m>1)
m>1の時 dS/dm=-(m+1)(m^2-4m+1)/{(√(2m))(m^2+1)^2}
　dS/dm=0から m=2+√3。
1<m<2+√3でdS/dm>0, 2+√3<mでdS/dm<0なので
m=2+√3　←(3)の答え
でSは最大値をとる。

(1)
m=2+√3の時 (A)より d=1/√2
3平方の定理より
　AB/2=√(1-d^2)=1/√2 ∴AB=√2
S=d*AB/2=(1/√2)*(1/√2)=1/2
sin∠ABC=d/1=1/√2 ∴∠ABC=45°

回答No.1

alice_44

∠ACB の大きさを 2θ と置き、まず、
m と S を θ の式で表せ。
それが済んだら、(1)(2)(3)を考える。