極限の等式の意味についてです。

質問

極限の例えば
lim［ｎ→∞］２ｎ＝∞

の等式＝は

１＋１＝２

の等式＝と全く同じ意味を表すんでしょうか？

ご回答宜しくお願い致します。

回答No.3

funoe · ベストアンサー

先の質問の、
　0.9999・・・＝１
　1+2=3
というときの等号（＝）と、

今回の質問の、
lim［ｎ→∞］２ｎ＝∞
では、等号（＝）の意味は違いますよ。

先の質問の等号は、２つの実数が等しいことを示す等号です。
同じような等号の使い方に、
3/3=1
1^2=1
√1＝1
1/2+1/4+1/8+・・・=1
lim(n→∞）{n/(1+n)}=1

いずれも、式の左辺と右辺が「等しい実数」であることを意味しています。

一方、今回の質問の、
lim［ｎ→∞］２ｎ　のように、
極限(lim）は、収束していれば一つの実数を表しますが、
収束しないとき（発散するときか、振動するとき）には、「実数」を表しませんし、右辺の「∞」も実数ではありません。

***の極限が正の無限大に発散するとき、特に　「lim***＝∞」　と表記する。という特別の表現なんです。
この＝は実数の等しいことを表す＝ではなく、「＝∞」までセットで、固定的な表現です。

お礼

ご回答ありがとうございます。

０以上の整数をｎとおくと、n.999…＝n+1、 n.000…＝nとなる式や3/3=1、1^2=1、√1＝1のような式や、lim(n→∞）{n/(1+n)}=1の極限値に収束する極限の式の等号＝の意味は右辺と左辺の値が全く等しいことを表す等号の意味。

一方、lim［ｎ→∞］２ｎ＝∞・・(1)のように、極限が正の∞に発散するような、極限が発散するときの式の等号は、(1)の式なら「＝∞」までセットという固定的な表現で、このような式の等号は右辺と左辺が全く等しいことを表わさない。

ということでしょうか？

宜しければご回答宜しくお願い致します。

回答No.6

alice_44

←A No.4 補足

∞ は、実数や複素数を表すものではありあません。
しかし、∞ を値とか数とか呼び得るかどうかは、
値とか数とかいうものをどう定義するか次第です。
A No.4 には、
∞ が数であり値となるような世界の例を書いてみました。
(興味無いようですが…)
数とは実数または複素数だという考えは、高校数学固有の
狭い世間での約束に過ぎません。

お礼

＞∞ を値とか数とか呼び得るかどうかは、
値とか数とかいうものをどう定義するか次第です。
∞ が数であり値となるような世界の例を書いてみました。

高校数学でさえ広い世界だと思ってましたが、そういうさらに広い世界があるんですね。

ご回答ありがとうございました。

回答No.5

funoe

>このような式の等号は右辺と左辺が全く等しいことを表わさない。

まったくの誤解です。

　とくにこの質問の背景には「全くはひとしくない」＝「少し(微妙に)異なっている」という考えがあるかとおもいますが、そんな意味ではありません。

　教科書に書いてあることをそのまま理解すればよいのです。

　ｘの式＊＊＊が、ｘ→０のとき、無限大に発散するならばそのときに「lim(x→0)＊＊＊＝∞」と書く

って、書いてあるでしょ。（ｘの行先は0に限らず、ほかの実数だったり∞だったり色々だけど）

　教科書のどこかに「なにかが等しい」という文字や表現が使われていますか？いないでしょ。

　しつこいですけど、
　「ある式を評価したら無限大に発散ことがわかった。そのときその事実（発散する）ことを式で表現するとき、・・・＝∞　と書く」という意味です。

　名著「解析概論」の表現を借りるなら、「記号∞を用いて標語的にこのように書くのである」ということです。

　教科書に書いてあることをそのまま素直に理解すればよいのです。

お礼

教材を教科書の代わりに使っているんですが、以後困ったときは一度教科書を参照します。

ご回答ありがとうございました。

回答No.4

alice_44

実数なり、複素数なりに一点 ∞ をつけ足して、
コンバクトな空間にすることができます。
その空間上では、lim[n→∞]n も lim[n→∞]2n も
どちらも ∞ に収束し、
lim[n→∞]2n = 2lim[n→∞]n = 2∞ = ∞
が成り立ちます。

このように、空間を拡張するのでなければ、
lim[n→∞]2n = ∞ と書くことはできません。
∞ は実数でも複素数でもないからです。

お礼

教科書の方には、∞は値すなわち数を表すものではないと書かれてました。

ご回答ありがとうございました。

回答No.2

info22_

「＝」は等式の左辺と右辺が等しいという意味しかないです。

なので
>lim［ｎ→∞］２ｎ＝∞
>の等式＝は
>１＋１＝２
>の等式＝と全く同じ意味を表すんでしょうか？

全く同じ意味です。

だけど、∞は数値ではありません。
なので「＝∞」も余りいい表現とは言えませんが、慣習上使われる事があります。
今の場合「＝∞（発散）」あるいは「＝」を使わないで「極限は発散する」、「無限大に発散する」、「収束値は存在しない」などと解答した方が良いかもしれないですね。

お礼

ご回答ありがとうござます。

慣習上使われる事があるから、lim［ｎ→∞］２ｎ＝∞の等式＝は１＋１＝２の等式＝と全く同じ意味を表すと言えるんですね。

１＋１＝２は値が等しいという意味ですが，lim［ｎ→∞］２ｎ＝∞の∞は値ではありませんから同じ等式＝とは言えず、左辺の式の値が限りなく大きくなることの表現として「極限=∞」という表記が許されているだけです。

との意見があったためこのような質問をさせて戴きましが、この意見の一部は間違いということでしょうか？

宜しければご回答宜しくお願い致します。

回答No.1

asuncion

何回か同じ趣旨の質問をされているようにお見受けします。しかも回答がついている。

=
は左辺と右辺とが等しいという意味で、それ以外の意味はありません。

お礼

ご回答ありがとうございます。

教材の書き方が正しくなかったりと、正直混乱しております。