- ベストアンサー
保存力と力学的エネルギーの保存について
hitokotonusiの回答
- hitokotonusi
- ベストアンサー率52% (571/1086)
(1)を書き落としていたので補足です。 #1で V・dV/dt = (1/2) d(V^2)/dt (*) を導きましたが、運動方程式から dp/dt = m dV/dt = F となりますので、これを使えば(*)の両辺にmをかけて m V・dV/dt = F・V = (1/2) m d(V^2)/dt = d[(1/2) m V^2]/dt が成り立ちます。
関連するQ&A
- 運動方程式の微分積分の計算
運動方程式の微分積分の計算方法がわかりません。詳しく教えてもらえると嬉しいです。よろしく、お願いします。以下はテキストの抜粋です。 m・dv/dt = F(r) 両辺に速度 v=dr/dt をかけると mv・dv/dt = F(r)・dr/dt となる。ここで、 v・dv/dt = d/dt(1/2v^2) ← この式変形が、分かりません。1/2も不明です。 と変形できるので、上の式は d/dt [1/2 mv^2(t)] = F・dr(t)/dt
- ベストアンサー
- 物理学
- 運動方程式からエネルギー保存則の導き方
md2x/dt2=Fをどのように積分すれば（1/2）mv^2が得られるのですか？位置エネルギーと弾性エネルギーの項は推測できたのですが、運動エネルギーの導き方が分かりません。どなたか教えてください。
- 締切済み
- 物理学
- F→=kr^n・r→/r の万有引力
質量mの粒子Aが一ベクトルr→で表される位置にある時 F→=kr^n・r→/r の力が働いているとき、力学的エネルギー保存を示せという問題と万有引力を考える問題がありました。 力学的エネルギー保存則を示すには m・d^2r→/dt^2 ・ dr→/dt = F→ ・ dr→/dt を変形して d/dt ( 1/2 m (dr→/dt)^2) = F→ ・dr→/dt としてt1→t2まで定積分して 1/2mv_2^2 - 1/n+1 kr_2^n+1 = 1/2mv_1^2 - 1/n+1 kr_1^n+1 となることは自力で順序に従って回答でき答えもあっていましたが その次の では実際にこのF→の例として万有引力を考え、質量Mの天体があり万有引力定数をGとすると k = (1) 、 n=(2) になる という問題でk=-GMm n=-2となると解答に書いてありましたがどうしてその式が導出されるのかがまったくもってわかりません。 万有引力はGMm/R^2で表されることは知っています。 どうやって上記の(1)(2)の回答がそれぞれ k=-GMm n=-2となるのか丁寧に解説をお願い申し上げます。
- ベストアンサー
- 物理学
- 運動エネルギーについて
こんにちわ Ｇｉａｎｔｓともうします。 運動エネルギー（１／２）ｍｖ２を解説するのに ∫m(ａ)・dr＝∫Ｆ・dr ---１ ∫m(dv/dt)・dr＝∫Ｆ・dr ---２ ∫m(dr/dt)dv＝∫Ｆ・dr ---３ ∫mvdv＝∫Ｆ・dr ---４ の順に解説されているのですが２式から３式に移る所が ぼやっとしています。 なぜ（ｄｖ／ｄｔ）・ｄｒ が （ｄｒ／ｄｔ）ｄｖ となり 普通の分子、分母のように考えられ、また内積の「・」も消してもいいのですか？ アドバイスよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 物理学
- 積分計算
力学の問題で、数学的に分からないところがあるので質問させて頂きます。 次のような微分方程式 (d/dt)^2 r ＝ -A/r^2 ( r = r(t) A = const ) がありまして、こいつの両辺にdr/dtを掛ける事で次のように変形し、積分に持ち込める事を以前教えて頂きました。 (d/dt) (dr/dt)^2 /2 ＝ A(d/dt) (1/r) 積分すると、次の結果が導けると思います。 dr/dt ＝ √(2A/r + C) もう一度積分すればrの値が求められると思うのですが、この先がどうしても思いつきません。。 初期条件は r(0) = R , (dr/dt)(0) = 0 です。ご存知の方いらっしゃいましたら宜しくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベクトル（外積）の微分の証明
ベクトル微分があまりにもわかっていないので、誰か助けてください。 内積の微分はなんとなく理解できるんですが、外積の微分となると内積との違いがよくわかりません。成分ごとの説明で、正しく証明できているのでしょうか？ また、ｒがベクトルの場合、 ｄ/dt(r*(dr/dt))=r*(d^2r/dt^2) は、どのように証明が出来るのでしょうか？ 感覚的には理解できるのですが、イイ説明方法が出来る方、よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 物理学
- 円軌道上のエネルギー保存則の導出方法における疑問点
長さLの軽い糸の一端を定点Oに固定し、他端に質量m の小さな錘を結びつける。mが最下点にある状態で水平に初速v(0)を与える。鉛直線と糸の角度をθ、糸の張力をT,重力加速度の大きさをgとすれば、錘mの運動方程式は、(初期条件θ＝０でv=v(o)) 向心成分: mv^2/L=T-mgcosθ …(1) 接線成分: mdv/dt=-mgsinθ …(2) ここから、エネルギーの保存則 1/2mv(0)^2=1/2mv^2+mgL(1-cosθ)…（３） を導出するとき、「運動方程式の向心成分(1)は進行方 に垂直な力だから、仕事をせずエネルギー保存則に無関係だから、接線成分(2)の両辺にv=L(dθ/dt)をかけて」 1/2mv^2=mgLcosθ＋C (Cは積分定数） が得られて、初期条件よりエネルギー保存（３） が導かれる。（ここまではわかります） ここからが、疑問です。 地球(質量M）の回りを人工衛星（質量m)が円軌道を描くときのエネルギー保存則は、（Gは万有引力定数） m/2v^2-GMm/r=Ｅ(一定）…（６） です。 運動方程式は、 向心成分: mv^2/L=-ＧＭｍ/r^2 …(4) 接線成分: mdv/dt=0 …(5) 「運動方程式の向心成分(4)は進行方向 に垂直な力だから、仕事をせずエネルギー保存則に無関係だから、接線成分(5)の両辺にv=L(dθ/dt)をかけて」導けるはずなのに（（３）の導出と同じ考え方だから） しかし、この場合、（５）の右辺が０なので どうしても、直接（６）を導けません。 ご指導を宜しくお願いします。
- 締切済み
- 物理学
- 運動エネルギーとの関係について。至急お願いします。
よろしければ解き方を教えてください(;_;) この問題についてお願いします(>_<) 質量ｍの物体が力Ｆを受けて、軌道Ｃ(ｔ0≦ｔ≦ｔ1)を描いて運動しているとする。このとき、Ｆが物体にする仕事は運動エネルギー(1/2)*mv^2とどんな関係があるか。仕事ｗはＣの方程式をｒとすると、力の変位方向の成分と距離の積で与えられ、ｗ=∫cＦ*drとなる。時間をｔ、速度をｖ=(ｄｒ/ｄｔ)、加速度Ａ=(ｄｖ/ｄｔ)とする。 どうかお願いします(;人;)
- 締切済み
- 物理学
- 数学の問題です。至急おねがいしたいです(>_<)
数学の問題です(;_;) よろしければ解き方を教えてください(;_;) この問題についてお願いします(>_<) 質量ｍの物体が力Ｆを受けて、軌道Ｃ(ｔ0≦ｔ≦ｔ1)を描いて運動しているとする。このとき、Ｆが物体にする仕事は運動エネルギー(1/2)*mv^2とどんな関係があるか。仕事ｗはＣの方程式をｒとすると、力の変位方向の成分と距離の積で与えられ、ｗ=∫cＦ*drとなる。時間をｔ、速度をｖ=(ｄｒ/ｄｔ)、加速度Ａ=(ｄｖ/ｄｔ)とする。 どうかお願いします(;人;)
- 締切済み
- 数学・算数