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数学の問題です。至急おねがいしたいです(>_<)

数学の問題です(;_;) よろしければ解き方を教えてください(;_;) この問題についてお願いします(>_<) 質量mの物体が力Fを受けて、軌道C(t0≦t≦t1)を描いて運動しているとする。このとき、Fが物体にする仕事は運動エネルギー(1/2)*mv^2とどんな関係があるか。仕事wはCの方程式をrとすると、力の変位方向の成分と距離の積で与えられ、w=∫cF*drとなる。時間をt、速度をv=(dr/dt)、加速度A=(dv/dt)とする。 どうかお願いします(;人;)

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noname#224896
noname#224896
回答No.1

力F,位置r,速度v,加速度Aは,それぞれベクトルを表すものとします. そして,質量m,時間t,仕事wは,スカラー量であるとします. 物体に力F以外の力は働いておらず,位置エネルギーも存在しないという条件の下ですので, 質量 m の物体した仕事 w がどれくらいかというものは,エネルギー保存の法則を用いれば, 物体がt=t0のときの物体の速度をv0とし, t=t1のときの物体の速度をv1とすると, 物体がした仕事w は,物体がt=t0からt=t1の間に失った運動エネルギーということになります. つまり,w = (mv1²)/2 - (mv0²)/2と,おおよその予想を立てます. ---------------------------------------------------- w = ∫c F・dr ...(1) 運動方程式は,mA=F 即ち,m(dv/dt) = F と表せるので, これを,式(1)に代入すると, 経路Cに沿った物体がした仕事は以下の通りで表せる. w = ∫c m(dv/dt)・dr = m ∫c (dv/dt)・dr ...(2) ここで,dr = (dr/dt)dt, 更に,v=dr/dt として, 時間をパラメータにした積分に置き換えると, 式(2)は,w = m ∫t0→t1 (d²r/d²t)・ (dr/dt)dt  = (m/2) ∫t0→t1 d/dt{(dr/dt)・ (dr/dt)}dt ...(3) dr/dt=v, さらに,t=t0の時の速度をv0,t=t1の時の速度をv1と置くと, v² の値は,t=t0のとき,v0²,t=t1のとき,v1² となる. よって,式(3)は,次のように式変形できる. w = (m/2) ∫v0²→v1² d(v²)  = (mv1²)/2 - (mv0²).2 ∴ w = (mv1²)/2 - (mv0²).2 (但し,t=t0の時の速度をv0,t=t1の時の速度をv1とする) 物体のした仕事と運動エネルギーの関係を記述せよというのでしたら,以下の通りになります. 物体がした仕事wは,t=t1のときの物体の運動エネルギーと,t=t0のときの物体の運動エネルギーとの差分で表される. ---------------------------------------------------- 解答は,以上です. やはり,予想は間違っていないことが証明されました. 追記:(3)の式が一見するとごちゃごちゃしているように見えますが,(v)^2というものを作りたい為にはどうしたらよいか,ということを考えてみましょう. 結果を予想してみて足りないものを無理のない式変形で作り出すことがポイントです. 頑張って下さい^^

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