量子力学の基本的な質問

質問

量子力学の基本で混乱しています。
物理量の期待値についてなのですが、わからないことが次々と湧いてきてしまい、自分の理解の浅さに意気消沈
しています・・。
どなたか簡潔に御享受いただければと思います。
どの質問も非常に初歩的な内容ですが、当方、基本的な所で何かとんでもない勘違いをおかしているようなので、ご指摘いただければと思います。
（波動関数をＦ、複素共役をＦ＊、物理量（演算子）をＱ、固有値をq、２乗は＾２、で書き質問します）

１　物理量Ｑ（位置、運動量、エネルギー）の期待値は、
＜Ｑ＞＝∫Ｆ＊Ｑ　Ｆdr　で与えられる、とあります。　例えば『無限に深い井戸型のポテンシャルの問題』での基底状態について考えたとき、位置、運動量については「ばらつき」があることは理解できるのですが、エネルギーについては、明らかにＥ（１）という基底状態のエネルギーが確定してしまい、エネルギーについては「ばらつきがない」ように思えるのですが、どう考えればイイのでしょうか？

２　Ｑは固有関数、qは固有値、のとき
　　物理量Ｑの分散は ∫Ｆ＊(Ｑ-q)＾2　Ｆdr=0 となり、　「これはある固有関数で表される状態で物理量Ｑを観測すると、それに対応する固有値qという確定値が得られることを意味する」
　とあります。
分散の値が０になることより、確かに確定値が得られるであろうことは理解できるのですが、先ほどの井戸の問題を見るかぎり、位置、運動量についてはばらつきがあり
「確定しない」ように思えます。どう考えればイイのでしょうか？

以上、当方の確率解釈に対する誤解から生じる疑問なのでしょうが、自分が何をとらえ違えているのかわからずにいます。よろしくお願いします。

回答No.4

KENZOU · ベストアンサー

＃２のKENZOUです。
(1)＞今、自分が頭に描いている井戸の様子は、まずn=1,2,3,・・・のいずれかの一つの状態があって、それを観測前の状態と考えています。これがそもそも間違いなのでしょうか。
(2)＞観測前はそもそも波動関数はn=1,2,3,・・・の固有関数が重ね合わされた状態で一般的には複合して存在しているということなのでしょうか？その複合した状態を観測したときに、いずれかの固有状態に決まる・・・。まず端的にご指摘いただけると幸いです。
引用は長くなりましたが、回答は端的に参りましょう（笑い）。正解は(2)となります。井戸であろうとクーロン場であろうと量子力学では観測前の系の状態をアプリオリ（先験的）に分かりません。井戸の場合は答えが既にわかっているので”わかったふり”をしているだけです。
[蛇足]
量子力学では次の対応関係を覚えておくと便利です。
○物理量　　　　　⇔　エルミート演算子
○物理量の観測値　⇔　物理量演算子の固有値
○観測値の確定状態　⇔　その観測地に属する固有値
状態の観測というのはその状態に演算子を作用させるということになりますね。＃２の(3)式をよく噛みしめましょう。この状態ψに演算子Ｑを作用させると物理量Ｑのいろいろ取りうる状態（基底状態から各種励起状態まで）の出現確率で知ることができ、その確率は(3)の展開係数の2乗で与えられるということになります。

お礼

端的にありがとうございます。エネルギー、分散、どちらの疑問も納得できました。どんなポテンシャル問題を見ても触れられていなかったのでてっきり勘違いをしていました。先入観とは恐ろしいものです（笑）。古典力学だと経験的なものと照らし合わせてスムーズに理解が進みますが、量子力学は実際に体験できないので「どういうことが起こっているのか」がつかみにくく、思いこみで進めてしまっている自分に気がつきました。注意しながら進めていきたいと思います。　　まだ少し、位置、運動量に関する理解があいまいかもしれませんが、とりあえず１，２の疑問に関しては理解できましたので、また疑問が湧いてきたら質問させてください。よろしくお願いします（低頭）。丁寧、親切なご回答に感謝しております。誠にありがとうございました。

回答No.5

eae

No.3のeaeです。

KENZOUさんの引用を拝借ささせていただきます。

(1)＞今、自分が頭に描いている井戸の様子は、まずn=1,2,3,・・・のいずれかの一つの状態があって、それを観測前の状態と考えています。これがそもそも間違いなのでしょうか。

(2)＞観測前はそもそも波動関数はn=1,2,3,・・・の固有関数が重ね合わされた状態で一般的には複合して存在しているということなのでしょうか？その複合した状態を観測したときに、いずれかの固有状態に決まる・・・。まず端的にご指摘いただけると幸いです。

に関してですが、
(1)はとんでもない間違いであり、
KENZOUさんの回答のとおり、(2)が正しいです。

(1)のような勘違いをし、
(2)を自信を持って正しいと主張できないと言う意味で、
下にあげた(あ)、(い)の理解が十分でない、
あるいは
量子力学において(あ)(い)とは何を意味するのかを十分に理解していない
と言えます。
#2ではこのことを指摘したつもりだったのですが、
少し言葉たらずだったかもしれません。

＞確かに（あ）（い）（う）がごちゃごちゃまぜになっていることも原因なのでしょうが、

とありますが、まさにこのこと「こそ」が誤解の原因です。

お礼

どちらの疑問とも納得できました。ありがとうございます。まだ不確定性原理の辺りの理解が曖昧かもしれませんが、またきっと疑問が湧くと思いますので（笑）その際はお付き合い頂ければ幸いです。よろしくお願いします（低頭）。適確なご指摘に感謝しております。誠にありがとうございました。

回答No.3

eae

reichさんの誤解は

（あ）どんな物理量でも「観測後は」確定値をとる。

（い）どの確定値をとるかは（観測前は）確率的にしか決まらない。
（その意味で量子系は「確定しない」）

（う）交換しない演算子で表される物理量（例えばxとp）は
１度の観測で同時に確定した値をとることが出来ない。
（この意味でも量子系は「確定しない」）

がすべてごちゃ混ぜになっていることに尽きます。

ちなみに、
＞２　Ｑは固有関数、qは固有値、のとき
は「Ｆは固有関数」の間違いですかね。

また、横やりをいれるつもりはないのですが、下の回答で、

>２．分散＝０は積分記号があるので、足し引きゼロって事ばらつきがないって言ってるわけじゃない。

は何か誤解がある、または誤解を与えるように思われます。
正の関数を積分して0なら、その被積分関数は0ですから。

波動関数Fが、演算子Ｑの固有値qの固有関数であること、
すなわち、ＱＦ＝qＦ と、
波動関数Fに関して、期待値がqで与えられる演算子Ｑの分散が0であること、
すなわち、∫Ｆ＊(Ｑ-q)＾2　Ｆdr = 0
は同値です。
（Ｑはエルミート演算子なので、∫Ｆ＊(Ｑ-q)＾2　Ｆdr =∫｜(Ｑ-q)Ｆ｜^2 drに注意．）
つまり、分散が0と言うことは、ばらつきが0だと言うことです。

reichさんが誤解しているのは、
ばらつきが0で「確定していいる」のに、
運動量と位置を同時に確定できないという意味で量子系は「確定しない」のは変では？
ということだと思いますが、
それは上で挙げた（あ）（い）（う）がごちゃごちゃまぜになっているからです。
質問（１）の誤解もまったく原因は同じです。

お礼

丁寧なご回答ありがとうございます。「Ｑは固有関数、qは固有値、のとき は「Ｆは固有関数」の間違いですかね。」 はい、ご指摘のとうりです。すみません、書き間違えました。分散についての補足もご指摘のとうりだと思います。ありがとうございます。確かに（あ）（い）（う）がごちゃごちゃまぜになっていることも原因なのでしょうが、それ以前に何か勘違いがあるようなのです。もう少し考えてみます。「もしかして、そもそも～を～と思っているのでは？」というような私の誤解にあらためてお気づきになられましたらご指摘いただきたいです。よろしくお願いします。

回答No.2

KENZOU

量子力学を勉強しはじめたときの悩ましいポイントですね。少し復習しましょう（若干天下り的な点がありますがが気楽に読み流してください（笑い）。
１）粒子の位置の平均値とバラツキについて
量子力学では粒子の位置は確率的にしか決まりませんね。粒子の位置の平均値を<x>とすると、これは位置ｘに粒子の存在確率密度|ψ(x,t)|^2を掛けて全空間で積分した値となると考えられます。規格化された波動関数をψ(x,t)とすると
　<x>＝∫x|ψ|^2＝∫ψ*xψdx　　(1)
と書けます。ψ*はψの複素共役です。
粒子の位置を何回も観測すると測定値は平均値の周りでバラツキますが、そのバラツキの幅(分散)を△xとすると△xは
　(△x)^2＝∫ψ*(x－<x>^2)ψdx＝<x^2>－<x>^2　　(2)
で与えられます。
２）期待値/固有値について
量子力学ではよくご存知のように物理量は演算子となりますね。波動関数ψが演算子Ｑの固有関数φiで
　ψ＝ΣCiφi　　(3)
と展開されるとすると、演算子Ｑの期待値<Ｑ>は
　<Ｑ>＝ΣCi*φi*ＱCjφj＝ΣλjCi*Cjδij＝Σλi|Ci|^2　(4)
となります。ここでλiは固有関数φiの固有値です。これから次のことが言えます。つまり固有関数φiはＱに対して常に固有値λiを期待値として与える物理状態を表す。まぁ、この辺の事情はテキストに詳しく書かれていると思いますのでよく読んでみてくださし。
３）ご質問の件
＞エネルギーについては、明らかにＥ（１）という基底状態のエネルギーが確定してしまい、エネルギーについては「ばらつきがない」ように思えるのですが
基底状態というのは井戸型ポテンシャル内を運動する粒子の波動関数の固有状態ですね（←励起状態も固有状態となりますが）。基底状態のエネルギーをE0とすると、エネルギー演算子はih(∂/∂t)ですから
　ih(∂/∂t)ψ(x,t)＝E0ψ(x,t)　(5)
となります。つまり、２）から基底状態のエネルギーを観測すれば必ずE0という値が得られるということになります。この辺りの事情はココ↓を参照してください。
http://www12.plala.or.jp/ksp/qumtam/squarewall/squarewall.html#1
＞位置、運動量についてはばらつきがあり「確定しない」ように思えます。どう考えればイイのでしょうか？
物理量Ｑとして何を観測するかということを明確にする必要があります。上のケースではＱとしてエネルギーをとりましたね。Ｑとして位置を取るとこれは粒子の位置を観測することになり、この場合、位置演算子はｘで固有値はｘとなります。但し運動量は同時に観測することができません。つまり、運動量の値は不定となります、また、運動量を観測する場合は、運動量演算子はih∂/∂xで、固有値は運動量を与えます。この場合、位置を同時に観測することはできません（←不確定性原理）。古典力学の場合と異なり、量子力学の場合は何を観測しようとしているのかという点に注意を払っておかないと分けのわからないことになりますね（笑い）。以上、駆け足で通り抜けましたが、不明な点があれば再度質問してください。

お礼

丁寧なご回答ありがとうございます。リンク先も拝見させていただきました。感謝します。ご説明いただいたことも数式の運びについては理解しております。それでもなお釈然としないのは、まだ私が何かとんでもない勘違いをしているからなのでしょう・・・。
質問を少し変えてイイでしょうか。今、自分が頭に描いている井戸の様子は、まずn=1,2,3,・・・のいずれかの一つの状態があって、それを観測前の状態と考えています。これがそもそも間違いなのでしょうか。　　　そうではなく、私の勝手な推測ですが、観測前はそもそも波動関数はn=1,2,3,・・・の固有関数が重ね合わされた状態で一般的には複合して存在しているということなのでしょうか？その複合した状態を観測したときに、いずれかの固有状態に決まる・・・。（どの参考書を見てもポテンシャル問題ではそうは書かれていないのでたぶん違うと思いますが、すみません・・）　　これは見当違いでしょうか。まず端的にご指摘いただけると幸いです。よろしくお願いします。

回答No.1

kyanaumi

１.基底状態E(1)について考えてるんだから、エネルギーはE(１)に確定してるのは当たり前。

２．分散＝０は積分記号があるので、足し引きゼロって事ばらつきがないって言ってるわけじゃない。

わかったかな？これでもわからないなら、もってチャンと説明するが。

お礼

ご回答ありがとうございます。確かに当たり前に感じられるかも知れませんが、それを当たり前に感じないところが私のような初学者のおそろしいところなのです。その原因が自分でもわからずに悩んでいます。もう少し考えてみます。
ちなみに分散＝０は統計学的には確かに「ばらつきがない」ということになる気がします。上のeaeさんのご指摘のように「正の関数を積分して0なら、その被積分関数は0」、で間違いないと思います。被積分関数は２乗されているので「引き」という概念はない気がします。
ご回答ありがとうございました。