因数分解の勉強は数学的素養の何と関係するのでしょう

質問

あまり数学は分からないのですが、高校で因数分解で苦しんだ経験があります。今でも因数分解がどんな数学を学ぶ上でどんな役に立つのか理解できません。答えをあらかじめ想像できないと解けないというような妙な矛盾を感じます。しかし数学的センスのある人には別の効用があるのでしょうか。

回答No.6

noname#221368 · ベストアンサー

以下はどちらかと言うと、#3，#4，#5さんの延長上にある話と、自分は思っています。自分も似たような事を思った事があるので、あなたが泣き言を言っているとは思いませんが・・・。

＞答えをあらかじめ想像できないと解けないというような妙な矛盾を感じます。

　たぶん、たすき掛けの事を仰ってるのだと思います。確かに自分も、そう感じました。ただこの発想は、中学校までにはなかったものだとは、思いませんか？。

　　(1)答えはどうなるかわからない。でも「都合良く考えて」、整数の中に解があると仮定して試算してみるのは、悪くない。

　　(2)そうであれば、(x－a)(x－b)＝x^2－(a＋b)x＋ab　の公式から、たすき掛けは必然になる。

　　(3)・・・やってみたら、できちゃった・・・。

　自分は(1)～(3)のようなやり方を勝手に、「できちゃった解法」と呼んでます(できちゃった婚みたいな・・・(^^)）。「できちゃった解法」は、数学の王道ではないように見えますが、じつは大学の数学の標準解法の中には、「できちゃった解法」方式もけっこうあるんです。典型的な例は、定数係数線形微分方程式の、特殊解の話などです。

　高校までの数学には、必ず解があります。しかし大学の数学の本来の目的は、解があるのかどうかさえわからない問題を調べる事です。そのような時、たとえ少々都合が良くても解が見つかれば、それは次の一歩への足掛かりになります。大学の数学では、「できちゃった解法」方式の発想も必要なんです。

　高校数学には、中学校までには出てこなかった大学式の斬新（？）な発想に、高校生を慣らすという目的は、確かにあると思います。数学って、そんなに格好良いものではないんだよ、と。でもこれは、高校生にとって、ある種の壁にはなると思います。

　もう一つは、受験を突破した高校生にとって大学の数学が、今まで見た事もないほど組織化されている点です。この組織化された数学を読み解く最初の足掛かりは、数学的状況の入出力関係を、実業と同じようにきちんと整理する事だと思います。この観点から見ると、(1)～(3)は格好の題材だと思えませんか？。

　だから自分は、余りに技術に偏った因数分解は好きではありませんが、(1)～(3)くらいは、一度は体験しておいて良いものと思います。大学で「できちゃった解法」が上手く行ったとき、その後行われるのは、それを手掛かりとした「できちゃった解法」の正当化（何故そう考えて上手く行ったのか？）と、その一般化です。高校数学に惹き戻せば、

　　・解の公式の有難味がわかる。

というところだと思います。

お礼

できちゃた解法はよくわかります。私は因数分解でこれが経験できなかったのだと思います。数学とは縁のない世界にいますが、やってみなければわからないといろいろ試行錯誤することの大切さは無数に経験しています。周囲の人の中にはやってみてもどうなるかわからないからやらないという人もたくさんいます。ご教示に感謝いたします。

回答No.7

alice_44

いや結局、山勘力は、数学において
論理的能力以上に重要で、むしろ本質的
ということでしょ？
正しく推論して証明を構成するなんてのは、
建前というか、ほんの最後の仕上げに過ぎず、
皆、本音は山勘で思考しているのだものね。
因数分解は、まさに山勘炸裂の世界だから、
マニュアル式の数IIIなんかよりずっと
数学らしいと言えば言える。
それとも、「山勘」は止して「直観」とでも
いったほうが穏当かな。

お礼

山勘力（直観力）の大切さは分かります。新しいことが可能になるのはまさに直感によるものであって筋道だった考え方の延長にはないのだろうと思います。ご教示ありがとうございました。

回答No.5

178-tall

多くの高校が因数分解の鍛錬を生徒に強いる目的は何なのでしょうか。
有名大学への合格率を上げ、自校の知名度アップを図るためとしかみえません。

一応、「因数分解」のからむ数学的スキルを要する「仕事」の経験はあります。
高次方程式の因数分解を紙の上でシコシコ勘定する必要など、実社会にはありません。
その部分だけなら、コンピュータにやらせれば済むハナシです。
…かといって、因数分解なる「数学モデル」をまったく知らずにこなせる「仕事」でもありません。

「数学的センス」が欠落しているため、納得いく説明はできません。
考えていくと、何やら禅問答の境地へ没入しそう…。

回答No.4

stomachman

「次の多項式を因数分解せよ」という問題をなんでどっさりやらされたのか、というご質問のようです。それは、応用を目指した基礎練習、いわば筋トレや素振りのようなもんなのです。大抵の人にとって、その練習自体はさほど楽しくないでしょう。
　まずは多項式同士の四則演算を正しく行うための基礎訓練（これは因数分解でなくてもいいのだが）ですし、因数分解を利用して多項式=0の形の方程式を解いたり、それが解ける仕組みを理解したり、さらには解けない理由を理解したりする。また、一見途方もない式を簡単に扱えるように整理する、整理することによって式の意味を読み解く、読み解いてそれがどんな性質を持つかを見抜く、さらにその性質を使ってナニカ（たとえば不等式が成立つことを証明）する、あるいは、整理することで級数や積分を計算できる形に変形する、などの応用が出来る場合が多々あります。

お礼

成程と思えるご教示でした。ご丁寧にご教示いただき、どうもありがとうございます。

回答No.3

mister_moonlight

＞因数分解がどんな数学を学ぶ上でどんな役に立つのか理解できません。

数学的素養と関係するのではなく、逆に、数学的素養を育てるためのもの。

因数分解は、高校1年の数学の最初にやる領域。数学は、積み重ねの体系だが、そのために
(1)　筋道を追って思考する事の訓練
(2)　数学には　思いつきは必要なのでその訓練

いずれにしても、これから始まる高校数学の入り口。それが分からなければ、高校3年間　数学は駄目だろう。
おそらく、能書きを並べながら　数学を回避してきたのだろう。
だから、君のように時間がたってから、泣き言を言う人間が出てくる。

＞答えをあらかじめ想像できないと解けないというような妙な矛盾を感じます。

それが間違い。高校数学に関係なく、筋道を追っていけば先は見えてくるし、先を見通す力はどんな場合でも必要。

お礼

自分なりに取り組んでみたのですが、どんなことに役に立つのか全く分からないままだったということでした。先を見通す力と筋道をたどることは矛盾しませんか。

回答No.2

alterd1953

私は数学が苦手で、大人になってから、えっちらおっちら勉強をやり直しているおっさんです。
したがって数学センスは皆無ですが、たまに証明とか分かると非常に楽しいので止めれません。
因数分解はいやほど使います。多分、基礎中の基礎でしょう。

　例えば、「x^2+2x-15=0」とかだったら２次方程式の解法を使わなくても
(x-3)(x+5)と因数分解でき、x=3,-5とあっさり分かります。

　今、思い出せる範囲で、因数分解を使った例で感動したのは
「x^3=1」の因数分解です。
これは、
x^3=1
x^3-1=0
(x-1)(x^2+x+1)=0と分解できます。
頭の(x-1)はｘ=1を意味します。
1の３乗は1ですから当たり前ですね。
ところが
後の(x^2+x+1)を２次方程式の解法を使って解くと
(-1±√3i)/2になります。
面倒くさいですが、これも３乗すると
なんと、１になります。
　つまり、１の３乗根は、１以外に
(-1+√3i)と(-1-√3i)の２種類あるということです。
それがどうしたと言われればそれまでなんですが
私はしびれました。

お礼

お示した例でのご感動はよくわかります。しかしこれは因数分解を問題として出されて解けたための感動ではなく、何か方程式の解法につながっていること（何か相当深い内容の）のように思えます。

回答No.1

noname#157574

2次以上の方程式や不等式を解くときに必要。

お礼

問題として出される因数分解のことだったのですが、ご回答どうもありがとうございました。