因数分解の解き方

質問

趣味で、大昔の数IIBの教科書を読み直していたら、途中に出てきた因数分解でつまずいてしまいました。
3a^2-2a^3-5=0
上の式を、
(a+1)(2a^2-5a+5)=0
に因数分解する解き方が分かりません。
すみません、数学は大の苦手です。分かりやすい説明を何卒よろしくお願い致します。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

最高次の係数の符号を「-1」を掛けて正にします。
2a^3-3a^2+5=0

因数定理を使って一次の因数を見つけてください。

左辺の係数を観察すれば　a=-1を代入すれば0となることが容易に分かると思います。
なので、因数定理から左辺が一次の因数(a+1)を持つことが分かります。

因数(a+1)で左辺を割れば残りの2次の因数が出てきます。
後は図のように左辺を(a+1)で割り算すればいいでしょう。
そうすると残りの因数(2a^2-5a+5)が出てきます。
これはこれ以上因数分解できません。

（2次方程式の解の公式で確認すれば2a^2-5a+5=0の判別式D<0なので因数分解できないことが分かります。）
したがって
>(a+1)(2a^2-5a+5)=0
と因数分解されます。

お礼

詳細、かつ、丁寧で分かりやすいご回答をありがとうございました。因数の割り算なども忘れていたので、添付された図はとても助かりました。またこれ以上、因数分解できない事にも言及して頂き、すっきり致しました。これでまた本を読み進める事ができます。重ねてお礼申し上げます。

回答No.3

matelin

ＡＮｏ２です。私が回答を書いている間に、
ＡＮｏ１さんが先に回答を書き込まれました。
私のはＡＮｏ１さんの回答とまったく同じものです。
ただ、次の部分に間違いがあるので、訂正しておきます。

その割り算をすると、
その商は　－(2a^2-5a+5)　　になりますから、
　ｆ（ａ）／(a+1)＝－（2a^2-5a+5）
　ｆ（ａ）＝－(a+1)(2a^2-5a+5)
ということになります。

お礼

ご回答ありがとうございました。因数定理のご説明が分かりやすかったです。

回答No.2

matelin

こんにちは。
これは、因数定理を使って解く問題ですね。

因数定理とは、次のようなものです。
「変数ａの整式ｆ（ａ）が、ある値ｐについて、
　ｆ（ｐ）＝０になるならば、
　整式ｆ（ａ）は（ａーｐ）で割り切れる。」

この定理が正しいものとします。
　ｆ（ａ）＝3a^2-2a^3-5　　とするとき、
　ｆ（ａ）はその形からａの整式です。そして
　ｆ（－１）＝3（－１）^2-2＊（－１）^3-5＝０
ゆえに上の定理より、
　ｆ（ａ）は｛ａー（－１）｝で割り切れる、ことになります。
その割り算をすると、
その商は　(2a^2-5a+5)　　になりますから、
　ｆ（ａ）／(a+1)＝2a^2-5a+5
　ｆ（ａ）＝(a+1)(2a^2-5a+5)
ということになります。

因数定理の証明は高校数学の教科書を見てください。

回答No.1

debut

3a^2-2a^3-5のaに適当な数字を代入して式の値が０になるような
aの値を探します。
a=1のとき式の値＝3-2-5=-4、a=-1のとき式の値＝3-2*(-1)-5=0
というように。
そして、０になったときのaの値-1から、この式はa+1で割り切れる
ことがわかります。（※因数定理）
（※因数定理）
　ｘの整式f(x)において、f(a)=0なるとき、f(x)はx-aを因数として
　もつ。
　　f(x)=(x-a)g(x)ならば、f(a)=(a-a)g(x)=0ですから。

次はその割り算です。（実際は筆算する）
(-2a^3+3a^2-5)÷(a+1)＝-2a^2+5a-5
よって、3a^2-2a^3-5＝(a+1)(-2a^2+5a-5)と因数分解できます。

この場合は方程式なので両辺にー１をかけて
(a+1)(2a^2-5a+5)としています。

お礼

早速にご回答を頂き、ありがとうございました。助かりました。