周期関数の問題

質問

f(x)=tan(x)/sqrt(1+tan^2(x))
が周期πの周期関数であることを示し、グラフを描け。
という問題なのですが、グラフ自体はウェブサイトでプロットを行うと、
http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot[tan%28x%29%2Fsqrt%281%2B%28tan%28x%29%29^2%29%2C{x%2C0%2C2*pi}]
となり、周期がπであることは目測では確認できます。
しかしながら、どのような手順で周期がπであることを示せばいいのか、
またグラフはどのように書いたら良いのか（どのように関数を変形したら良いのか）、
がわかりません。
以上教えて頂ければ幸いです。
よろしくおねがいします。

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

公式1+tan^2(x)=1/cos^2(x)より
f(x)=tan(x)*|cos(x)|=sin(x)*|cos(x)|/cos(x)
全ての実数xに対して
f(x+π)=sin(x+π)*|cos(x+π)|/cos(x+π)
　=-sin(x)*|cos(x)|/(-cos(x))
　=sin(x)*|cos(x)|/cos(x)
=f(x)
が成り立つから、f(x)は周期πの関数。

グラフは
f(x)=sin(x)*|cos(x)|/cos(x)より
y=sin(x)のグラフにcos(x)の符号を掛けたものになります。
|cos(x)|/cos(x)はcos(x)の符号を表します。ただしcos(x)≠0

お礼

複雑なことを考えなければいけないことは
他の人の回答からよくわかりましたが
あなたの回答が一番シンプルで過不足無く説明されていると思います
わかりやすい説明を有難うございました

回答No.8

stomachman

No.6の訂正です。

> 回答者の方々は、

のところ、「十分」と「十分条件」の区別すら付かないような一部の方は除くべきでした。

いやあ、春ですねえ（笑

回答No.7

mister_moonlight

又、馬鹿が一人。。。。ｗ

＞が周期πの周期関数であることを示し

この問題文は、必要十分条件である事を示せ、といってるのであって、十分条件である事を示せとは言ってない。
だから、問題にしているのは　＃1の回答ではなくて、＃3の回答を問題にしている。

回答No.6

stomachman

> どのような手順で周期がπであることを示せばいいのか

　考え過ぎです。（というか、短絡的な思い込みなのかな。）この問題は何も、f(x)の基本周期（f(x)の周期のうち最も長いもの）がπであることの証明を要求しているわけではない。
　「f(x)が周期Tの周期関数である」とは、単に
　　f(x)=f(x+T)
がどんなxについても成立つ、ということ。つまり、f(x)が「周期πの周期関数であることを示」すには
　　f(x)=f(x+π)
がどんなxについても成立つことを証明しさえすれば十分です。なのでANo.1の通り。

> グラフはどのように書いたら良いのか（どのように関数を変形したら良いのか）

　もちろん、式を上手に変形して要領よくやれればそれに越した事はないんですが、ただ漠然と変形ったってどうしていいのか分からない、という時には、ともかく素直にf(x)に向き合うんですね。
　そのために、まず、f(x)が簡単に計算できそうなxについて、f(x)を実際に計算してみる。また、f(x)に値がない（f(x)が定義されない、あるいは発散してしまう）場所xはないか？f(x)=0になるのはどこか？と考える。
　できれば、それぞれの点におけるグラフの接線の傾き(df(x)/dx)も分かっていると、より正確なグラフが描けますんで、微分が簡単な式になりそうならやってみるということもあります。グラフの用途によってはdf(x)/dx=0となるのがどこか、などがポイントになる場合もあります。（この問題ではグラフの用途が不明なので、そこまで求めてはいないと思うけど。）

　さてこの場合、周期πなのだから0～π（あるいは-π/2～π/2）の範囲のグラフを描けば、あとは繰り返しだと分かっている。
　f(x)が簡単に計算できる所というと、x=0, πやx=π/4でのf(x)の値なら簡単に出るな、とすぐ分かります。
　ここで「tan(π/2)は値がない」ということに気付くかどうかが重要です。tan(π/2)に値がないから、f(π/2)も値がない訳です。だからそこは線で繋いじゃだめで、ANo.4のように、○（白抜きのマル）を描いて値がない事を示すのです。
　そのためには、○をどこに描けば良いかを決めなくちゃいけない。すなわち、xがπ/2の付近にあるときのf(x)の様子：
　　Δx→+0のときの f(π/2+Δx)
　　Δx→+0のときの f(π/2-Δx)
がどうなるかを計算する必要があります。これで初めて、じゃあ式をどう変形しようか、という話になるわけですが、変形する目的がはっきりしてますから、変形の仕方も必然的に絞られて来ます。
　回答者の方々は、ここまでを多分1秒以下で見抜いた上で、その後の話をなさっているんですよ。

回答No.5

mister_moonlight

周期がπである事を　最初から前提にした解は　解ではない。そんなものは解としては　問題外。

1+tan^2(x)＝1/(cos＾2x)だから、条件式は　f(x)=(sinx)/｜cos＾2x｜。
この基本周期をαとすると、f(x)=f(x＋α)が成立する。
つまり、(sinx)/｜cos＾2x｜＝分母を公式で変形すると＝(2sinx)/｜1+cos2x｜＝{2sin(x＋α)}/｜1+cos2(x＋α)｜‥‥(1)
これが任意のxについて成立するから、x＝π/2についても成立する。
それを(1)に代入して計算すると、sin＾2α＝±2sinα。-1≦sinα≦1より　sinα＝0、
0＜α≦2πだが　αは基本周期(＝最少の周期)だから　α＝π。

但し、これは必要条件だから　α＝π　を(1)に代入して　恒等的に(つまり、x＝π/2以外の全ての値に対しても)成立する事を確認すると良い。←　十分条件の確認。

回答No.4

info22_

#3です。

A#3のグラフを描きましたので添付します。

y=f(x)=tan(x)/√{1+tan^2(x)}
=sin(x)・{|cos(x)|/cos(x)}
ただし、x=nπ+(π/2)(nは任意の整数)の時未定義

ここで
y={|cos(x)|/cos(x)}
=1 (cos(x)>0の時)
=-1 (cos(x)<0の時)
ただし、cos(x)=0 即ち x=nπ+(π/2)(nは任意の整数)の時未定義となります。
（図の白丸○の所）
これは　cos(x)の符号を表すグラフになります。

y=sin(x)とy={|cos(x)|/cos(x)}のyの値を掛けたグラフが
y=f(x)のグラフになります。
x=nπ+(π/2) (nは任意整数）ではtan(x)や1/cos(x)が未定義になるので
y=f(x)=tan(x)/√{1+tan^2(x)}=sin(x)・{|cos(x)|/cos(x)}
は未定義になります。

回答No.2

alice_44

f(x) = (sin x)・((cos x)の符号)
であることを指摘する方法もあるが、
説明の内容も、その記述も、かえって
ゴタゴタするように思う。

回答No.1

alice_44

周期π ← x=y+π を代入すればよい。
πが基本周期だとは言われてないようだし。

グラフ ← 作法どおり。微分して、増減表を書く。