複素数の極形式変形（２）

質問

今回の問題は

－1/2{cos(－90－θ)＋isin(－90－θ)}

を変形すると

1/2{cos(90－θ)＋isin(90－θ)}

になるということなんですが、教科書に載ってる三角関数の公式にはcos(－90－θ)など載っていませんし、先頭係数の－もどこにいったのか全く分かりません。
三角関数の変換には何かパターンみたいなものがあるのでしょうか？教科書に載っているものを暗記しただけじゃ、こういう問題に対応しきれない気がするのですが...アドバイスお願いします。

回答No.4

Sage-y · ベストアンサー

こんばんは。

単位は゜（度）を使用していると考えます。
こういった問題はNo.３さんのように図を書いて考えると理解はしやすいと思います（基本は半径１の円なんですけど）。
一般的に cosα=-cos(α+180)
　　　　 sinα=-sin(α+180) となります。
よろしいでしょうか。図を書けばすぐ理解出来ると思います。
この問題にそれを当てはめると、
　-1/2{cos(-90-θ)+isin(-90-θ)}
=-1/2{-cos(-90-θ+180)-isin(-90-θ+180)}
=-1/2{-cos(90-θ)-isin(90-θ)}
=1/2{cos(90-θ)+isin(90-θ)}
と変形できます。
このような考え方もあるのだということくらい知っておいてもよいでしょう。ちなみに自分でその変形が出来るようになるのは、慣れが必要でしょう。
生意気で申し訳ありませんが、がんばってください。

回答No.3

jmh

複素平面で、

　　Ｉｍ
　　　｜　β
　　　｜／
－－－＋－－Ｒｅ
　　／｜」
　／θ｜９０
α　　｜

１を時計回りに９０＋θ回したのがαです。αを、長さを半分にして、原点に対称な位置にうつしたのがβです。βは、Ｉｍ軸から時計回りにθ、長さ１／２の複素数です。

回答No.2

shinchan_k

三角関数の加法定理をご存じですか。
この加法定理を使えばこの手の公式は全て
導き出すことができます。
例えば
cos(-90-θ)=cos(-90)cos(-θ)-sin(-90)sin(-θ)
=sin(-θ)
=sin(0-θ)
=sin0cosθ-cos0sinθ
=-sinθ
となります。
sin(-90-θ)も同様にして
sin(-90-θ)=-cosθ
よって
－1/2{cos(－90－θ)＋isin(－90－θ)}
=1/2(sinθ+icosθ)
=1/2(cos(90－θ)＋isin(90－θ))

回答No.1

lonely_saboten

教科書に載っているのだけ暗記しただけでは意味はありません。
自分の頭で考えましょう。

cox(-90-θ)ですが・・・
たとえば、cox(-θ)=cosθ　という公式が教科書に載っていますよね。
これを使えば cos(-90-θ)=cos(-(90+θ))なので θ'=90+θとすれば
cos(-90-θ)=cos(-θ')=cosθ'=cos(90+θ)となります。

つぎに cos(90-θ)=sinθも教科書に載っていますね？
これを使えば cos(90+θ)=cos(90-(-θ))=sin(-θ)です
。

sin(-θ)=-sinθも教科書に載っていますね。
よって結局、cos(-90-θ)=-sinθとなります。

教科書に載っている公式をそのまま暗記しているのでは意味は無く、それを自分の頭で考えて使えるようにしていく必要があると思います。