積分での回転体の体積

質問

Y=x^2-4 と y=3xで囲まれた部分をx軸の周りに一回転させて出来た回転体の体積を求めよ。
という問題なのですが、求めようとすると大変めんどうな計算をしなければならないのでよく計算ミスをしてしまいます。少しでも簡単に出来る方法があれば教えてください。

回答No.5

yyssaa

以下、なるべく簡単にと考えたのですが、かえって面倒くさかったら
ごめんなさいです。
　まず、対象となる平面図形をx軸の周りに一回転させたときに、
重なる部分が無くなるように平面図形を分割します。
xy座標の原点をO(0,0)、y=x^2-4とy=3xとの交点をA(-1,-3)、B(4,12)
y=x^2-4とx軸に関して線対象な曲線y=-x^2+4とy=3xとの交点をC(1,3)
とします。
まず、第三、第四象限の対象図形をx軸の周りに一回転させた回転体
の体積V1を、-1≦x≦2の範囲でy=x^2-4を回転させた回転体の体積V2
からOA点(-1,0)を回転させた円錐の体積V3=3πを引いて求めます。
　次に第一象限の対象図形からx軸とy=3xとy=-x^2+4に囲まれた部分
(この部分は第四象限の対象図形を回転させると重なる)を除いた部分
の回転体の体積V4を、BO点(4,0)を回転させた円錐の体積V5=192πから
CO点(1,0)を回転させた円錐の体積V6=3π、1≦x≦2の範囲でy=-x^2+4
を回転させた回転体の体積V7、及び2≦x≦4の範囲でy=x^2-4を回転
させた回転体の体積V8を引いて求めます。以下計算します。
V2=∫(-1→2)∫(0→x^2-4)ydy∫(0→2π)dθdx
=π∫(-1→2)(x^4-8x^2+16)dx=153π/5
よってV1=(153π/5)-3π=138π/5
V7=∫(1→2)∫(0→-x^2+4)ydy∫(0→2π)dθdx
=π∫(1→2)(x^4-8x^2+16)dx=53π/15
V8=∫(2→4)∫(0→x^2-4)ydy∫(0→2π)dθdx=1216π/15
よってV4=192π-3π-(53π/15)-(1216π/15)=522π/5
以上から求める回転体の体積は(138π/5)+(522π/5)=132πとなります。