積分での回転体の体積

質問

Y=x^2-4 と y=3xで囲まれた部分をx軸の周りに一回転させて出来た回転体の体積を求めよ。
という問題なのですが、求めようとすると大変めんどうな計算をしなければならないのでよく計算ミスをしてしまいます。少しでも簡単に出来る方法があれば教えてください。

回答No.3

info22_

間違いを防ぐには回転体の断面のグラフを描くことが必要です。
回転体の断面が円盤になる場合とドウナツのように真ん中に穴のある円盤になる場合がありますので、どの範囲が穴のある場合の区間かをグラフから認識し、その区間は穴の部分を穴が無いとして求めた体積から引いてやる必要があります。

積分区間はグラフから
[-1→0] （穴の区間）
[0→1] (穴のない区間)
[1→2]（穴のない区間）
[2→4]（穴のある区間）
に分けて積分してやります。

V1=π∫[-1→0] (x^2-4)^2 dx -π∫[-1→0] (3x)^2 dx
V2=π∫[0→1] (x^2-4)^2 dx
V3=π∫[1→2] (3x)^2 dx
V4=π∫[2→4] (3x)^2 dx -π∫[2→4] (x^2-4)^2 dx

V=V1+V2+V3+V4
計算を簡単にするために積分の範囲と順序を入れ替えると

V=π∫[-1→1] (x^2-4)^2 dx -π∫[2→4] (x^2-4)^2 dx
+π∫[1→4] (3x)^2 dx -π∫[-1→0] (3x)^2 dx
=π[(1/5)x^5-(8/3)x^3+16x][-1→1]-π[(1/5)x^5-(8/3)x^3+16x][2→4]
+π[3x^3][1→4]-π[3x^3][-1→0]
=π{(2/5)-(16/3)+32}-π{(1/5)(4^5-2^5)-(8/3)(4^3-2^3)+16(4-2)} +3π(4^3-1-1)
=π{(2/5)-(1/3)-5+32}-π{(1/5)(1024-32)-(8/3)(64-8)+16(4-2)} +3π(64-2)
=π{(2/5)-(1/3)+27-(198+2/5)+(149+1/3)-32}+186π
=π{27-198+149-32}+186π
=-54π +186π
=132π

という結果が得られます。