積分での回転体の体積

質問

Y=x^2-4 と y=3xで囲まれた部分をx軸の周りに一回転させて出来た回転体の体積を求めよ。
という問題なのですが、求めようとすると大変めんどうな計算をしなければならないのでよく計算ミスをしてしまいます。少しでも簡単に出来る方法があれば教えてください。

回答No.2

naniwacchi

#1です。

すいません、書いているうちに面積の話をしてしまってました。
失礼しました。

体積の場合も積分区間を求めるところまでは同じですね。
回転させる場合は、外側の立体から内側の立体を「繰り抜く」ことを意識しないといけません。

たとえば、2つの曲線 y＝ f(x)と y＝ g(x)で囲まれた図形を
x軸の周りに回転させた立体の体積： Vは
V
＝∫[α→β] π*{ f(x )}^2 dx- ∫[α→β] π*{ g(x )}^2 dx
＝π*∫[α→β] [ { f(x )}^2- { g(x )}^2 ] dx

となります。
（区間：α≦ x≦ βにおいて、f(x)≧ g(x)である。つまり、y＝ f(x)が外側である。としています。）

よくある間違いは、これを
V＝ π*∫[α→β] { f(x )- g(x ) }^2 dx

としてしまうものです。
ほんとに何気にしてしまうことが多い間違いなので、注意してください。

あくまでも「繰り抜く」ということを忘れないようにしてください。

お礼

わざわざ２回もありがとうございます。
そうですね、V＝ π*∫[α→β] { f(x )- g(x ) }^2 dxの話は学校で先生からも絶対にやってはいけないといわれていたところでした。
この問題が載っていた問題集の解答が、理解しにくかったので質問させて頂きました。

御丁寧にありがとうございます。