- ベストアンサー
数列の一般項
一般に、数列{F_n}がk項間の漸化式と、F_0、F_1、・・・、F_(k-1) の初期値が与たとき、 1、一般項は存在するのでしょうか(表現できなくても構いません) 2、一般項は一つでしょうか 2は2つの一般項F_n、G_nが存在したとすると、F_k=G_k が示せて、以下帰納的に一致するので、一つだと思いますが・・・。 1についてよろしくお願いします。
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数1
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
「一般項」とか「存在する」とかの意味にもよるが、 「表現できなくても構いません」という注釈からすると、 任意の n について F[n] が定義できるか? ということを言っているんだろうから、 漸化式が多項式であれば、問題なく定義できる。 2. と同様に、帰納法で示せばよいと思う。 漸化式に特異点があると、常に代入できるのか という問題が発生するけれども。 それとも、6項間以上になると、特性方程式に 解公式は無いが、代数学の基本定理は成立 してるから…という話をすればいいのかな?
その他の回答 (1)
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
「k項間の漸化式」というとちょっと微妙な気もするけど, F_(n+k) = f(F_n, F_(n+1), ..., F_(n+k-1)) という形である (あれ? これだと「k+1項」あるなぁ.... まあいいや) なら「f が計算できる」かどうかが全て.
関連するQ&A
- 数列(一般項の帰納法による定義)
お世話になっております。 数列の単元で、漸化式から帰納法によって一般項を定める問題例がありますが、これについて少し抽象的な質問をさせて下さい。 例題 次の条件によって定められる数列{An}の一般項を求めよ。 A[1]=2,A[n+1]=An/(1+An) (n=1,2,3,…) まず、実際に幾つかの値を得て、 A[1]=2, A[2]=2/3, A[3]=2/5,……となるから、 An=2/(2n-1)…(1) になると「推測」される。帰納法によってこれを証明する。以下略 ここで、質問です。 数列は、まず幾つかの具体的な値から第n項を定めることから学び始めますが、このことと今、第n項が(1)になると「推測」されることとは何が違うのでしょうか。推測だけではだめだから、帰納法で全ての自然数nについて(1)が成り立つことを示すのがこの問題の目的になるのでしょうが、そうなると、全ての数列について帰納法によって証明しなければいけないような気になってくるのですが、どんなものなのでしょう。 また、この問題は漸化式を拠り所に第n項を類推しますが、この例題ならば具体的な値から規則性が簡単に見出せるから良いのですが、パッと見ただけじゃ規則性の見出しにくい数列は、漸化式を解いて得られた第n項について、やはり帰納法によって証明する必要があるという捉えになるのでしょうか。 以上になります。言葉足らずなところがあるかも知れません。また、筋違いな質問でしたらご容赦下さい。宜しくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列の一般項を求めたいです。
以下の漸化式を持つ数列を一般項で表したいです。 簡単に求め方が説明できる場合は求め方についてもお教えいただけますと幸いです。 a(n+1)=2*a(n)+(p*n+q)*2^n そもそも、一般項もとまるのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列の一般項の求めかたがわかりません(>_<)教えて下さい!
数列の一般項の求めかたがわかりません(>_<)教えて下さい! 数列{an}の初項から第n項までの和がS=n?3のn乗で表されるときの一般項anを求めよ。 途中式もよろしくお願いしますm(__)m!
- ベストアンサー
- 数学・算数
- Nフィボナッチ数列の一般項について
つぎのようにNフィボナッチ数列を定義します。ただしNは自然数。 F(1)=F (2)=...=F(N)=1 F(N+n)=F(N)+F(N+1)+...F(N+n-1) (n≧0)-(1) またx^N=Σ[k=0~N-1]x^kのN次方程式のN個の解をA1,A2、...ANと名付けます。 N=2のとき フィボナッチ数列になりますが、 (1)を変形してF(n+2)=(A1+A2)F(n+1)-A1A2F(n) よって F(n+2)-A2F(n+1)=A1{F(n+1)-A2F(n)} F(n+2)-A1F(n+1)=A2{F(n+1)-A1F(n)} 2つの漸化式ができて、ともに右辺を等比数列の和として計算できますので 2つを連立して、F(n+1)について解くと一般項が得られます。 N=3のときも同様にして、一般項が求まります。 そこでNが任意の自然数でもこれは成り立つのでしょうか? 解と係数の関係からN個の連立方程式が導けるとしてもよいのでしょうか? どなたか教えてください。お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 数列の和の一般項について テスト前!!
今回の問題)1,1+3,1+3+9,1+3+9+27 という数列の初項から第n項までの和なんですが、 なんか基本的な 1・2・3 + 2・3・5 + 3・4・7 よってΣk(k+1)(k+2) みたいなのとは違って 最初の一般項の出し方が特殊みたいですが その式が理解できないです。 一般項=1+3+9+・・・+3^(k-1) =3^k-1/3-1= 1/2・(3^k-1) 一般項が等比数列になってるみたいですが、この一般項って問題の式の一つ一つの項の一番右の値だけとってつくってるみたいですが なんでこうなるのかわかりません。 Σ1/2・(3^k-1)
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数学の数列です
自然数を項とする数列 {a[n]} (n=1,2,3,…) が次の漸化式をみたすとする. a[n+1] = (1/2)a[n] (a[n]が偶数の時) かつ a[n+1] = a[n]+1 (a[n]が奇数の時) このとき,次の問いに答えよ. ⑴ a[1] ≧2ならば,a[k]<a[1]となる奇数a[k]が存在することを示せ. ⑵ a[1]がどんな自然数であっても,a[k]=1となる項が存在することを示せ. この問題の⑵がわかりません。 帰納法でとくと思のですが、どうするのでしょうか? a[1]=1,2,3,.......,2m まで成り立つと仮定するのでしょうか? その辺の帰納法の使い方も曖昧です。 教えて下さい。 解答も書いて頂けると嬉しいです。
- 締切済み
- 数学・算数
- 漸化式がa_n+1 = √(pa_n + q )となる数列の一般項
a_n+1 = √(pa_n + q ) (但しp,qは実数でp≠0、q≠0) このような漸化式の数列a_nの一般項を求めてみたいのですが、 (p,q) = (1,2)の場合については一般項が求まりましたが、 それ以外の場合の一般項が求められません。 このような形の漸化式からa_nの一般項を求める方法はあるのでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 数列(と、帰納法?)
数列anは an+1=2an/(1-an^2) n=1 2 …… をみたしているとする。 以下の問いに答えよ (1) a1 =1/√3とするとき 一般項anを求めよ (2) tan(π/12)を求めよ (3) a1 = tan(π/20) とするとき an+k = an nは3以上 をみたす最小の自然数kを求めよ 数列の漸化式がtanの加法定理の形になってるのは分かるんですが、類推してから、帰納法で証明しきれませんでした。 以上3問お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
早々の書き込みありがとうございます。 >「一般項」とか「存在する」とかの意味にもよるが、 >「表現できなくても構いません」という注釈からすると、 >任意の n について F[n] が定義できるか? >ということを言っているんだろうから、 と、そうですよね。帰納的に数列は決まっていくわけで、あとはその数列をどうやってnで表現するか、というわけで・・・。 高校で習った数列の一般項の求め方で、一意性とか存在は勉強した記憶はなく、もしかして2つ存在したらどうしよう、ということから出た質問でした。 今回もわかりやすくありがとうございました。