運動方程式を立てるときの加速度・力の向きは予測？

質問

こんにちは、物理の問題を解いていて、根本的な疑問に当たり真剣に悩んでおります。
シンプルなお話なのですが、それゆえに長く悩んでも自分で明確な答えを出せずにおります。
どうか、お力添えのほどお願いします。

添付の図をご覧下さい。
二つの図がありますが、まず上の比較的シンプルな図をご覧下さい。
この状況での加速度と両物体にかかる張力を求めるという典型的な問題を想定下さい。

この場合、通常、起こりうる加速度の向きをAについて右向きとし、Aが右向きだからBは下向きとなります。よって、Aについて
(1) 1.0kg x a = T
Bについて
(2) 0.6kg x a = 0.6kg x 9.8 - T

として、解答を得るかと思います。

常識的にはありませんが、起こり得る加速度の向きをAについて左向きと考えると、Aが左向きだからBは上向きと考えます。よって、この場合、Aについて
(3) 1.0 kg x a = -T
Bについて
(4) 0.6 kg x a = T - 0.6 kg x 9.8
となり、方程式を解くと加速度aは負の値となり、想定していた加速度の向きが逆であり、Aについて右向き、Bについて下向きというように、解いてみれば加速度の向きは自ずと明らかになります。

ここまでは、OKなのですが、次が問題でして、私の質問の中心的な内容です。
もし、Aの加速度の向きを右向きと予想（仮定）しても、Bの加速度の向きを予想できない場合はどうすれば良いでしょうか。上記の例題はシンプルですので、Aの加速度の向きが決まれば（仮定されれば）、必ずBの加速度の向きを予想することができますが、もしAとBの間に少々複雑な機構を含んでいて、AとBの加速度の向きを相互にリンクして考えることができなかったら、どうすれば良いのでしょうか。例えば、Aの加速度の向きを右向きと仮定しましたが、Bの加速度の向きを上向き、と誤った場合、運動方程式は、
Aについて
(5) 1.0 kg x a = T
Bについて
(6) 0.6 kg x a = 0.6 kg x 9.8 - T
となり、誤った解答を得てしまいます。

私の質問は、概して申し上げると、
複雑な機構をもつ系の運動方程式を立てる際、加速度の向きはどうやって予測するのでしょうか。

例として、比較的複雑な系として、添付の下図をご覧下さい。
例えば、Bの加速度の向きが下向きと予想します。Cは左に加速度を持ちそうです。しかし、AはBと同じで一緒に下向きの加速度をもちそうにも見えますが、上に加速度を持ちそうにも見えます。どうやって予測すれば良いのでしょうか。この予想を間違えると誤った解答を得そうなのですが、いかがでしょうか。

どうぞ宜しくお願い致します。

回答No.3

rnakamra · ベストアンサー

#2のものです。
> 位置の向きは、ある点を原点としないとイメージできなのですが、原点は滑車の位置でしょうか。すると、厳密には、rnakamra様の糸の長さに関する言及は、事細かく言うと、　(-x)+(-y)=一定、ということでしょうか。

原点はどこにとってもよく、自分の考えやすい場所にするとよいでしょう。
私なんかは図にある物体の場所を原点にとってしまうことが多いのですが、質問者様の考え方のほうが分かりやすいですね。直接的でいい方法だと思います。
長さが直接得られる滑車の位置に原点をとると分かりやすいですね。
もちろん糸の長さ一定の条件は (-x)+(-y)=一定　から得られます。
そういう意味では滑車からの距離がそのまま座標になる逆向きの座標のとり方のほうが分かりやすいかもしれませんね。

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Aについて左向きを正と加速度をa,
Bについては上向きを正とし加速度をbをします。
Aの運動方程式：-T=1*a
Bの運動方程式：T-0.5g=0.5b
Aの座標をx,Bの座標をyとすると糸の長さが一定の条件から:x+(-y)=一定
この式を時間で2回微分すると a+(-b)=0 → b=a
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-------------------------------
Aについて左向きを正と加速度をa,
Bについては下向きを正とし加速度をbをします。
Aの運動方程式：-T=1*a
Bの運動方程式：-T+0.5g=0.5b
Aの座標をx,Bの座標をyとすると糸の長さが一定の条件から:x+y=一定
この式を時間で2回微分すると a+b=0 → b=-a
-------------------------------

上記の二通り、どちらでもOKです。

> 一般にどのようにして原点をとって位置の座標、向きを定めるのでしょうか。
たとえば、先に添付しました図の下段では、どこを原点にとるのか、分からずにおります。

私だと図にある位置そのものを原点にしてしまうのですがなれないと難しそうです。
糸の長さが一定の式を出しやすくするには滑車の位置を原点にして、滑車から離れる向きに正の向きをとると考えやすいですね。

Aは一番左の定滑車の高さが原点、下向きが正となるように座標xをとる。
Bは左から二番目の定滑車の高さが原点、下向きが正となる向きに座標yをとる。
Cは小さい定滑車の位置が原点、右向きが正となる向きに座標zをとる。
A,B,Cの加速度をa,b,cとする。

糸の長さの構成要素のうち長さが変化する部分は
A-定滑車：x
Bの上の動滑車-定滑車：y*2
C-小さい定滑車：z
ですので
x+2y+z=一定
となり、時間で2回微分すると
a+2b+c=0
となります。

お礼

rnakamra様、

再び回答下さりお礼申し上げます。
今回の疑問はふとしたことから悩み始めましたが、ここまで回答頂き、この上なく勉強になりました。
当たり前のように思っていたこと、例えば繋がられた物体の加速度が同じであること、を当たり前、とか
聞くまでもなく、常識で考えて、などとして、それ以上深く考えないと、思いもかけない勉強の機会を逃すものだと
つくづく思いました。重ねて御礼申し上げます。今後も、ふとしたことで悩み、質問させていただくことがあるかと思いますが、
どうぞお力添え頂ければと思います。宜しくお願い申し上げます。

回答No.2

rnakamra

向きなんてどちら向きでもよい。
方程式がキチンと立てられれば正負を含め問題なく答えは得られます。

2番目の問題の場合、A,B,Cそれぞれの向きの正負を決め、加速度の大きさa,b,cとデモおいて式を立てます。張力も求めないといけないので式が4個必要になります。
(ただし、摩擦の関係でCが動く・動かないがわからない場合は注意が必要)

それぞれの物体に関する運動方程式がたちますが、さらに糸の長さが一定という条件で式がたちます。これで四つの式がたつので解くことが可能です。

忘れがちになりますが、この"糸の長さが一定"の条件を忘れないように。

実は一つ目の図に関してもA,Bの物体に対して正負の向きをバラバラに定義しても糸の長さが一定の条件から加速度についての拘束が発生するため全く問題なく解けます。
実際に示してみましょう。
Aについて右向きを正と加速度をa,Bについては上向きを正とし加速度をbをします。
Aの運動方程式：T=1*a
Bの運動方程式：T-0.5g=0.5b
Aの座標をx,Bの座標をyとすると糸の長さが一定の条件から:x+y=一定
この式を時間で2回微分すると a+b=0 → b=-a
となります。これを解くと元と同じ答えが得られます。

注意したいのは、それぞれの物体について向きを定義したら、位置・速度・加速度の向きは必ず同じ方向にとらないといけません。そうでないと先ほどの例で最後に行った微分演算の際に符号が変化する問題が発生します。

お礼

回答下さりありがとう御座います。
"糸の長さが一定"の条件でしたか、なるほどシンプルな問題も真剣に悩むと奥深く感じます。

申し訳ないのですが、rnakamra様のご回答に関連して、再度、以下の質問をさせて下さい。

「注意したいのは、それぞれの物体について向きを定義したら、位置・速度・加速度の向きは必ず同じ方向にとらないといけません」

について追加でお伺いします。速度、加速度について向きは理解できるのですが、位置についての向きがなかなか理解ができずにおります。

（Q１）
位置の向きは、ある点を原点としないとイメージできなのですが、原点は滑車の位置でしょうか。すると、厳密には、rnakamra様の糸の長さに関する言及は、事細かく言うと、　(-x)+(-y)=一定、ということでしょうか。すみません、揚げ足を取っているわけではなく、あくまできちんと理解したいという気持ちから伺っております。

（Q２）
以上の私の解釈が正しいかどうか、以下のケースをご覧になって、判断いただけないでしょうか。rnakamra様の回答文の一部をフォーマットとして、正の向きの設定を変えております。

-------------------------------
Aについて左向きを正と加速度をa,
Bについては上向きを正とし加速度をbをします。
Aの運動方程式：-T=1*a
Bの運動方程式：T-0.5g=0.5b
Aの座標をx,Bの座標をyとすると糸の長さが一定の条件から:x+(-y)=一定
この式を時間で2回微分すると a+(-b)=0 → b=a
-------------------------------

-------------------------------
Aについて左向きを正と加速度をa,
Bについては下向きを正とし加速度をbをします。
Aの運動方程式：-T=1*a
Bの運動方程式：-T+0.5g=0.5b
Aの座標をx,Bの座標をyとすると糸の長さが一定の条件から:x+y=一定
この式を時間で2回微分すると a+b=0 → b=-a
-------------------------------

（Q３）
一般にどのようにして原点をとって位置の座標、向きを定めるのでしょうか。
たとえば、先に添付しました図の下段では、どこを原点にとるのか、分からずにおります。

以上、再度の質問となり恐縮ですが、どうか宜しくお願い致します。

回答No.1

Tacosan

理屈的にはどうとってもいいけど, 普通は「一貫性がある」ように設定するね.

例えば, 「速度は上が正だけど加速度は下が正」でもきちんと管理できれば正しく求まるはずだけど, そんなことする奴は「アホ」って言われても仕方ないと思う.

お礼

回答下さりありがとう御座います。