微分公式について(数学II)

質問

お世話になっております。

微分公式 (x^n)'=nx^n-1 但しn=1、2、3 がありますが、これは3次関数まで成り立つ事を表しているのでしょうか？つまり、n≧4では成り立たないのでしょうか？これは、n次の関数の不定積分の定義についても同じ疑問です。

アドバイス宜しくお願いします。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

微分の定義に従って計算してみてはどうでしょうか?

お礼

やってみましょう。

回答No.5

noname#157574

No.4 の補足　極限値の性質　x→a で
I. lim f(x)=α，lim g(x)=βのとき
(1)lim kf(x)=kα　k は定数
(2)lim {f(x)±g(x)}=α±β　複号同順
(3)lim f(x)g(x)=αβ
(4)lim f(x)/g(x)=α/β　β≠0
II. lim f(x)/g(x)=αについて g(x)→0 ならば f(x)→0 でなければ極限値αをもたない(必要条件)

お礼

まだ先の話なので何とも……

回答No.4

noname#157574

alice_44 先生の補足
新年度から施行される新しい学習指導要領では，数学IIにおける微分・積分で取り扱う関数は整式で表されたもの全般に戻されます。しかし，極限値の性質，速度，体積，道のりは残念ながら数学IIIの範囲のようです(基礎解析ではもちろん，当時の数学IIでも取り扱われていた)。これでは意味がないと考えます。速度や道のりは物理学と直結しますので。

お礼

物理に応用できる日が待遠しいです

回答No.3

alice_44

「n=1,2,3 とする」という但し書きがあるのは、
「学習指導要領」という邪宗の教典に、
数IIで扱う多項式の微分は、三次式までとする
…と書かれているためです。
教科書が検定に通るためには、学習指導要領に
適合している必要があるからです。
n=4,5,6,… については、成立しないのではなく、
数IIでは教えない規則になっているのです。
阿呆な但し書きを付けて、愚かなのは
学習指導要領のほうなのか、
教科書執筆者のほうなのか…？

お礼

あらら。友人から15年度検定済の教科書を貰ってやっているのですが、ちょうど指導要領が切り替わるあたりですね。複素数と方程式が数学IIで扱われているいて、複素数平面が高校数学から消えた指導要領ですか…。個人的には複素数に関心があるので、古い数学Ｂの教科書ガイドを探すなり工夫してみようと思います ご回答ありがとうございました。

回答No.2

alice_44

n が任意の実数(じつは複素数でも可)のとき、
その式は成り立ちます。

自然数でない n については、数IIの知識では
手にあまるかも知れませんが、
n = 4,5,6,… については、(x+h)のn乗 の括弧を
丁寧に展開して、微分係数の定義に当てはめれば、
各 n について一つ一つ証明することができます。
n = 2 や n = 3 の式を証明するのと
全く同じ要領です。
教科書の n = 3 での説明を読み返しながら、
n = 4 の証明に挑戦してみてください。

一般の自然数 n について一気に証明するには、
(x+h)のn乗 を展開するために、
「二項定理」を使います。
興味があれば、検索でもしてみては？

不定積分についても、ほとんど同様ですが、
n = 0 の場合だけは、微分のほうの式の両辺を
n で割ることができないため、別物となります。
∫(1/x)dx は、たしか数IIIに出てたと思います。

お礼

f(x)=x^4 (n=4)でx=1での微分係数の値を平均変化率から極限値を用いて得る方法と、f'(x)=(x^4)'を得てx=1における微分係数の値が一致しました。 教科書の「y=x^nと定数関数の導関数」の公式で、但書きに「但しn=1、2、3とする」とあったので、「じゃあ四次以上はどうなんだ？」と素朴な疑問がありました。
取り敢えず色々試行するのが大事だという事ですね。字数増えると展開が単純にやろうとするとど偉い手間が掛かるから、二項定理は心強いです。

補足

ところで、但書きの「n=1、2、3とする」には一体どんな意味があるのでしょうか？