高校数学の極限について

質問

指数対数の極限で、知りたいものがあります。

高校数学の範囲で導けるかどうか、導けるなら結論を知りたいです。

三角関数における、lim[x->0]sinx/x = 0のようなものの事です。

知りたいのは、

lim[x->∞](x^n)/logx

lim[x->∞](e^x)/(x^n)

の値です。

nは整数です。

よろしくお願いします。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

いや・・・ロピタルなんかに頼ったらだめだって・・
そもそもロピタルの証明なんか，簡単にゃできんって
高校レベルの極限はおろか・・・
本質的にロピタルが必要な極限の計算なんか存在しないといってもいい

e^x/x^n から

n=0のとき ∞
これの証明は e>1 であることから自明とします
＃まじめにやるなら e^x > 1+ x (x>0)を証明すればいい

n>0のとき　x>0としてよい
e^x > 1 の両辺を区間[0,t](t>0)で積分すれば
e^t -1 > t
e^t > 1+t
tをxに書き換えて
e^x > 1+ x
これの両辺を区間[0,t](t>0)で積分すれば
e^t -1 > [x+ x^2/2]_0^t = t + t^2/2
tをxに書き換えて
e^x > 1+ x + x^2/2
これを繰り返すことで（厳密には数学的帰納法）
e^x > 1 + x + x^2/2 +・・・+ x^n/n! + x^{n+1}/(n+1)! (x>0)
だから
e^x/x^n > 1/x^n + 1/x^{n-1} +・・・+1/(n-1)!x + 1/n! + x/(n+1)!
x->∞のとき右辺は無限大に発散するので
e^x/x^n -> ∞ (x->∞)

n<0のとき e^x/x^n = e^x x^{-n} -> ∞(x->∞) (-n>0であることに注意)

==========
x^n/log(x)のほう

x=e^tとおけば x->∞のときt->∞
x^n/log(x) = (e^t)^n/ t = (e^n)^t/t

n=0 のとき t->∞ならば極限0
n>0 のとき t->∞ならば (e^n)^t /t > e^t/t なので極限∞
n<0 のとき
m=-nとおけば x^n/log(x) = 1/x^mlog(x) -> 0

回答No.1

info22_

最初に
>三角関数における、lim[x->0]sinx/x = 0のようなものの事です。
これは間違い。
正解は
lim[x->0]sinx/x = 1

もしロピタルの定理が使えるなら使えば簡単。
使えなければ簡単に証明しておいて使えば良い。

１つめ）
n≦0でゼロに収束。
n＞0で∞となって発散し収束しない。

lim[x->∞](x^n)/logx
n=0なら
=lim[x->∞] 1/logx=0

n<0なら
lim[x->∞] 1/((x^(-n))logx)=0

n>0なら
=lim[x->∞](nx^(n-1))/(1/x) ...ropitaru適用
=lim[x->∞](nx^n)
=∞

２つめ
以下のようにいずれの場合も∞となって発散（収束しない）。
lim[x->∞](e^x)/(x^n)
n=0なら
=lim[x->∞](e^x)=∞

n<0なら
=lim[x->∞](e^x)(x^(-n))=∞

n正整数なら
=lim[x->∞](e^x)/(x^n)
ロピタルをn回つかって
=lim[x->∞](e^x)/(n!)
=∞

n>0で整数でないなら
分母のxのベキ乗が初めて負になるまでロピタルを繰り返す。
=lim[x->∞](e^x)/(n!x^(-m)) (0<m<1)
=lim[x->∞](e^x)x^(m)/(n!) (0<m<1)
=∞