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積分(↓下の質問は間違えました)

∫ sin(x)cos(x) dx これを sin(x)cos(x)=(1/2)sin(2x) にして積分すると -(1/4)cos(2x) になります。しかしxが小さいとして検算すると 符号が合いません。値も変なのです。 行き詰まってパニクってます

みんなの回答

  • Rossana
  • ベストアンサー率33% (131/394)
回答No.3

結論を先に言います。 答えは -(1/4)cos(2x)+C (Cは積分定数) としても #2さんの (1/4){1-cos(2x)}+C' (C'は積分定数) でもどちらでも正解です。 ただ,形を合わせるなら#2さんの方法でやるべきです。  ここで重要なのは (1/4){1-cos(2x)}+C'  =-(1/4)cos(2x)+C'+1/4 なので,C=C'+1/4 とすれば同じになるということです。 つまり,不定積分では積分定数の値は不定なので, それは何らかの条件によって決定されなければ確定できず任意の値をとれるのです。

noname#7077
質問者

お礼

>それは何らかの条件によって決定されなければ確定できず任意の値をとれるのです< しかし#2の方法は条件を賦してないのでは。こういう所が数学わけわかな所なんだよな…

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  • KENZOU
  • ベストアンサー率54% (241/444)
回答No.2

sin(x)=tと置くとcos(x)dx=dtとなりますね。従って与式の積分は  ∫sin(x)cos(x)dx=∫tdt=(1/2)t^2 (1) となり、変数を元に戻すと           =(1/2)sin^2(x)  (2) となります。ところで  cos(2x)=cos^2(x)-sin^2(x)=1-2sin^2(x) ですから  sin^2(x)=(1/2)(1-cos(2x))  (3) (3)を(2)に代入して ∫sin(x)cos(x)dx=(1/4)(1-cos(2x)) (4) となります。

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  • Rossana
  • ベストアンサー率33% (131/394)
回答No.1

∫sin(x)cos(x)dx =(1/2)∫sin(2x)dx =(1/2)[-(1/2)cos(2x)]+C =-(1/4)cos(2x)+C (Cは積分定数) となりPandarliedさんの結果と一緒ですが,積分定数の影響は関係ないですか? 何と何をどのように検算されたのでしょうか?

noname#7077
質問者

補足

積分結果が (1/4)(1-cos(2x)) なら結果が合うんですが(ry 特に境界条件とか無いんですけど。。 2xは2πを越すことになるから 領域を分けてどうこうするんでしょうか。 sinの積分とかでπを越さないようにしますよね

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