• ベストアンサー

数学

数学の問題です。 (1)x^2+1≡(mod19)を解け (2)a∈(Z/nZ)*の位数をdとする。a^k≡1(modn)⇔k≡0(mod d)を示せ。 (3)P=29で位数１１の元は何個あるか。 求め方を教えてください 宜しくお願いします

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
noname#152422
noname#152422
回答No.1

(1)(3)意味不明。 (2)のヒント：kをdで割り算する。

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 離散数学の証明問題

    離散数学の証明問題 合同でないことを≡×と表します。 Pを素数とし、a≡×0(mod p)とする。また、aの位数をdとする。 このとき、次のことを示せ。 (1)整数nに対して、a^n≡1(mod p)であるならば、かつそのときに限り、d|n (2)dはp-1の約数である。 (3)整数i,jに対してa^i≡a^j　(mod p)であるならば、かつそのときに限り、i≡j(mod p) (1)はFermatの小定理を使うと思うのですが、いまいち解法が浮かびません。 (2)はFermatの小定理から自明に思えますが、厳密に証明しないといけないみたいです。 (3)は証明方法がまったく分かりません。 分かる方、証明お願いします。

  • x^2 ≡ 1 mod n

    nが素数で nを法とする既約剰余群(Z/nZ)*において 位数が2の元は-1だけであることを示したいのですが、 x^2 ≡ 1 mod n ⇒ (x-1)(x+1) ≡ 0 mod n ⇒　x = ±1 ではダメでしょうか。 ある本だと 以下の定理を使っています。 「Gを有限巡回群とする。|G|の任意の約数dに対して位数dのGの部分群が唯一つ存在する。」 この定理より　nの既約剰余群において、位数2の元は-1のみ。 しかし、この定理の証明が私にとって難解で、まったく理解できません。 結局、位数2の元が-1だけであることを言いたいので x^2 ≡ 1 mod nを 上記のように解けば説明になっているのでは？と思いました。 x^2 ≡ 1 mod n を解くだけで説明になっているでしょうか？ アドバイスお願いします。 また、もしできたら 「Gが有限巡回群のとき…　|G|の任意の…」　の定理の証明をわかりやすく説明していただけないでしょうか。

  • 【代数学】位数2の元

    代数学の本を読んでいて、練習問題の解説に以下のような記述がありました： pを素数とするとき、Z/pZは体だから、x^2≡1（mod p）なる元はpを法として-1ただ1つ。乗法群(Z/pZ)*において、先にみたように位数2の元はただ1つだから…（以下省略。Zは整数全体のなす環） この解説で「Z/pZは体だから、x^2≡1（mod p）なる元はpを法として-1ただ1つ」（*）という部分が理解できません。ただし、その後の文で「乗法群の位数2の元はただ1つ」とあるので、（*）は1以外でそのようなxは-1だけ（mod p）という意味ではないかと考えています。そこで以下の質問をさせていただきたいです。 １．一般に、体の乗法群には位数2の元は1つだけあるといえるでしょうか。その場合、なぜそういえるのかの説明またはヒントをいただけないでしょうか。 ２．１の答えがnoの場合、反例があれば教えていただきたいです。 よろしくお願いいたします。

  • 剰余群

    剰余群についての質問です。 説明の準備として以下を定義する。 n = Π(p|n) p^e(p) (nの素因数分解） K = {a∈(Z/nZ)* |gcd(n,a) = 1, a^m ≡ ±1 mod p^e(p),∀p|n} M = {a∈(Z/nZ)* |gcd(n,a) = 1, a^m ≡ 1 mod n} とします。　(本来は、mに意味があるのですが、説明が煩雑になるため、ここでは適当な自然数とみてください) KとMの定義より、　K⊃M. また　a∈K　⇒ a^2 ⊂ M (証明ははぶく) ------ここからが質問 このとき K/M ∋ ∀a + M ⇒ (a + M)^2 = 1である。 つまり(K/M)∋a+M の位数は2である。 と続くのですが、 K/Mとはどのような集合を考えたのでしょうか？ a + M という剰余類も理解できませんでした。 アドバイスいただけないでしょうか。 よろしくお願いします。

  • 至急お願いします。代数学の問題です。

    (1)(1+240Σ_(n=1,∞)σ3(n)・q^n)^3 - (1-504Σ_(n=1,∞) σ5(n)・q^n)^2 =(1+240X)^3 - (1-504Y)^2 ≡2^4・3^2・(5X+7Y) (mod12^3) これより、5・σ3(n)+7・σ5(n)≡0 (mod4) と≡0 (mod3) を証明せよ。 定義 Γ ⊂ SL2(R) が合同部分群 ⇔ ∃n ∈ N s.t. Γ(n) ⊆ Γ ⊆ SL2(Z) SL2(Z)=Γ(1) (level1) (2)SL2(Z) / Γ(n) = SL2(Z/NZ) を証明せよ。 (3)(2)の位数が(N^3)・Π_(P|n) (1-1/(P^2))となることを証明せよ。 よろしくお願い致します。

  • 素数の分類と無限性に関して。以前質問させていただいたことの延長になりま

    素数の分類と無限性に関して。以前質問させていただいたことの延長になります。 ※＾は乗数の意味です。 8n+1型の素数が無限に存在することの証明 原始根の存在（素数 p を法とする整数環 Z/pZ の乗法群が位数 p - 1 の巡回群であること）を使う。 x を整数とする時x＾4 + 1 の奇素数因子を p とする。 x＾4 ≡ - 1 (mod. p) より、両辺を2乗することでx^8≡1となる。 x の p を法とする整数環 Z/pZ の乗法群での位数は 8 で有るから、 p ≡ 1 (mod. 8) となる。ここで、 p ≡ 1 (mod. 8) となる素数が有限個であったとする時、その総乗積を P として、 (2P)＾4 + 1 の奇素数因子を考えると矛盾が出る。 私は2PをX"とおいて上と同様に考えました。 同じ方法を用いることで証明することはできたのですが、 この証明の中で用いている「位数は 8 で有るから、 p ≡ 1 (mod. 8) となるの部分に関して ラグランジュの定理 　　　 　　　　位数nの有限郡Gの任意の部分郡Hの位数はGの位数の約数である を用いた場合、GとHに当たる部分はどこになるのでしょうか。今の段階では、nがｐ－１にあたり、Hの位数が８と考えています。ｐが素数で、８はｐ－１の約数になるとの考えは当っているでしょうか・・？ よろしくお願いします。

  • 代数学の、群の問題を教えて下さい。

    nは正の整数とする。Gは位数nの巡回群とする。この問題では、GはZ/nZに同型であることを示す。 (1)Gの生成元xをとり(つまりG=<x>)、群の準同型定理f:Z→Gをm∈Zに対してf(m)=x^mで定める。このときfは全射であることを示しなさい。またKerf=nZであることを示しなさい。 (2)fに準同型定理を適用して、Z/nZ≃Gを示しなさい。 という問題です。お願いします。

  • 離散数学になるのかな？

    ３日ほど考えたんですが、分からないので質問します。 p を素数とする. 2 以上 p-1 以下の自然数 a と自然数 b について, a^b ≡ 1 (mod p)　に対して位数が p - 1 となる a を列挙せよ という問題です。 p = 97 の時 a は３２個あるらしいのですが、 具体的にはどのようなことをするのか教えていただけませんか？ Ｐ・Ｓ いろいろネット上で調べたのですが、フェルマーの小定理と関係があるんですか？

  • Zの元は何故±1だけ?

    本に書いてあったのですが Zの元は何故{±1}だけなのでしょうか? Zは多分剰余類の事だと思いますので ZはZ1(={amod1;aは整数})のことだと思います。 -1mod1,1mod1∈Z1で 1mod1={x;x≡1(mod1)} -1mod1={x;x≡-1(mod1)} ∀x∈{x;x≡-1(mod1)}を採ると合同式の定義から x+1=1・k (kは整数)と書け、 ∀x'∈{x;x≡1(mod1)}を採ると合同式の定義から x'-1=1・k' (k'は整数)と書けると思います。 前者は x-1+2=1・k x-1=1・k-2 x-1=1・k-1・2 x-1=1・(k-2) と書け、k-2も整数なので x=1(mod1)で x∈{x;x≡1(mod1)} よって、 {x;x≡-1(mod1)}⊂{x;x≡1(mod1)} {x;x≡-1(mod1)}⊃{x;x≡1(mod1)} も同様に示せて、 {x;x≡-1(mod1)}={x;x≡1(mod1)} が成立つ。 更に同様にして {x;x≡2(mod1)}={x;x≡1(mod1)} も言えるので最終的には Z1={1mod1} つまり、Z={1mod1} となったのですが勘違いしてますでしょうか?

  • 代数の問題です。

    大学の代数でこのような問題がでて きて、わからないので教えてくださ い 。よろしくお願いします。加法群G=Zの部分群H=nZ(n≧1は 自然数)に関する剰余類aHをa+nZと加 法的に表す。 また、a,b∈Zに対し、a-bがnの倍数 のときa≡b(mod n)と表し、aとbはn を法として合同であるという。 これは、a+nZ=b+nZと同値である。 剰余類の集合G/H=Z/nZをZnと表す。 Cn:位数nの巡回群={e,a,a^2,…a^n-1}a ^n=eとする (1)a≡a′(mod n),b≡b′(mod n)な らば、a+b≡a′+b′(mod n)を示せ 。 これより剰余類の集合Znに(a+Z)+(b+Z )=a+b+Zによって 積(この場合は和)が定義されることを 示し、 Znに群の構造が入ることを示せ。(Zn をnによる剰余類群という。) (2)剰余類群Znは巡回群Cnと同型であ ることを示せ

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する