素数の分類と無限性に関する証明

このQ&Aのポイント
  • 8n+1型の素数が無限に存在することの証明です。
  • この証明では、原始根の存在を用いています。
  • また、ラグランジュの定理を考える際に、位数が関係してきます。
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素数の分類と無限性に関して。以前質問させていただいたことの延長になりま

素数の分類と無限性に関して。以前質問させていただいたことの延長になります。 ※^は乗数の意味です。 8n+1型の素数が無限に存在することの証明 原始根の存在(素数 p を法とする整数環 Z/pZ の乗法群が位数 p - 1 の巡回群であること)を使う。 x を整数とする時x^4 + 1 の奇素数因子を p とする。 x^4 ≡ - 1 (mod. p) より、両辺を2乗することでx^8≡1となる。 x の p を法とする整数環 Z/pZ の乗法群での位数は 8 で有るから、 p ≡ 1 (mod. 8) となる。ここで、 p ≡ 1 (mod. 8) となる素数が有限個であったとする時、その総乗積を P として、 (2P)^4 + 1 の奇素数因子を考えると矛盾が出る。 私は2PをX"とおいて上と同様に考えました。 同じ方法を用いることで証明することはできたのですが、 この証明の中で用いている「位数は 8 で有るから、 p ≡ 1 (mod. 8) となるの部分に関して ラグランジュの定理         位数nの有限郡Gの任意の部分郡Hの位数はGの位数の約数である を用いた場合、GとHに当たる部分はどこになるのでしょうか。今の段階では、nがp-1にあたり、Hの位数が8と考えています。pが素数で、8はp-1の約数になるとの考えは当っているでしょうか・・? よろしくお願いします。

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  • yoikagari
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回答No.1

Gの位数がp-1で、Hの位数が8なのではということでしょうか? なら当っています。

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